热门试卷

解（1）对x∈R，令x=u-v则有

f（-x）=f（v-u）=f（v）g（u）-g（v）f（u）

=f（u-v）=-[f（u）g（v）-g（u）f（v）]=-f（x）；

∴f（x）为奇函数

（2）f（2）=f[1-（-1）]

=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）

=f（1）g（-1）+g（1）f（1）

=f（1）[g（-1）+g（1）]

∵f（2）=f（1）≠0，

∴g（-1）+g（1）=1．

解：（1）∵f(x)是奇函数且0∈R，∴f(0)=0，即，∴b=1，

∴，

又由f(1)=-f(-1)知，，∴a=2，

∴。

（2）f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，

证明如下：设x1，x2∈(-∞，+∞)且x1＜x2，则

，

∵y=2x在(-∞，+∞)上为增函数且x1＜x2，∴且y=2x＞0恒成立，

∴，

∴f(x1)-f(x2)＞0，

∴f(x)在(-∞，+∞)上为减函数。

（3）∵f(x)是奇函数，

∴f(x2-x)+f(2x2-t)＜0等价于f(x2-x)＜-f(2x2-t)=f(-2x2+t)，

又∵f(x)是减函数，

∴x2-x＞-2x2+t，即一切x∈R，3x2-x-t＞0恒成立，

∴判别式△=1+12t＜0，即t＜。

（1）∵f(x)=是奇函数，∴f（-x）=-f（x）

∴=-，∴b=0，

故f(x)=，

又∵f（1）=2，∴=2，∴a=1

∴f(x)=．

（2） 由（1）知F(x)=（x＞0）

∴F()==

∴F(x)+F()=1

∴F(1)+F(2)+F(3)++F(2007)+F()+F()++F()

=F(1)+[F(2)+F()]+[F(3)+F()]++[F(2007)+F()]

=+2006×1

=．

（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0…1′

取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数．…3′

（2）任取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，则x2-x1＞0，∴f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，…4′

∴f（x2）＜-f（-x1），

又f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（x）≤f（-3）…6′

而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-2×3=-6，

∴f（-3）=-f（3）=6，∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6…8′

（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得 f（ax2）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2），

进一步得f（ax2-2x）＜f（ax-2），

而f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，

∴ax2-2x＞ax-2…10′∴（ax-2）（x-1）＞0．

∴当a=0时，x∈（-∞，1）

当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}

当a＜0时，x∈{x|＜x＜1}

当0＜a＜2时，x∈{x|x＞或x＜1}

当a＞2时，x∈{x|x＜或x＞1}…12′