- 函数的周期性
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已知定义域为R的函数f(x)在(8，+∞)上为减函数，且函数f(x+8)为偶函数，则
[ ]
A．f(6)＞f(7)
B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9)
D．f(7)＞f(10)
正确答案
D
对于函数①f（x）=|x+2|，②f（x）=|x-2|，③f（x）=cos（x-2），判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 ______．
正确答案
①函数f（x）=|x+2|，则有f（x+2）=|x+4|，显然这不是偶函数，因此①中的函数不符合要求；
②函数f（x）=|x-2|，则有f（x+2）=|x|，f（x+2）是偶函数，又由函数f（x）的图象可知f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，所以②符合要求；
③中函数f（x）=cos（x-2），则有f（x+2）=cosx，是偶函数，但是它在（-∞，2）上没有单调性；因此答案应为②．
故答案为②．
已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x），满足
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（xn）}的通项公式；
（Ⅲ）对于(II）中的数列{f（xn）}，
证明：
正确答案
解：（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0
得f（0）﹣f（y）=f（﹣y）
即f（y）+f（﹣y）=0
∴f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．
（2）由
∵f（xn）﹣f（﹣xn）=f
且f（x）且f（x）在（﹣1，1）上为奇函数
∴f（xn+1）=2f（xn），f（x1）=1
∴f（xn）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=2n﹣1
（3）
=
已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=3，则f（2）=______；f（2005）=______．
正确答案
∵f（x+1）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=3，
∴f（x+1）=
∴f（2）=
∵f（x+2）=
∴f（x+4）=-
∴T=4，
∴f（2005）=f（4×501+1）=f（1）=3．
故答案为：-2，3．
已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2x，f（x）=2x，若n∈N*，an=f（n），则a2008=______．
正确答案
∵f（2+x）=f（2-x），f（x）为偶函数
∴f（x+4）=f（-x）=f（x）
由此可知f（x）为周期函数，周期为4，
则a2008=f（2008）=f（4）=f（0）=20=1．
故答案为：1
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