- 全称量词与存在性量词
- 共555题
写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；
（2）若xy=0，则x=0或y=0；
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数．
正确答案
（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题．
原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题．
（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题．
原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．
（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．
有以下四个命题：
①两直线m，n与平面α所成的角相等的充要条件是m∥n；
②若p：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∃x∈R，sinx＞1；
③不等式10x＞x2在（0，+∞）上恒成立；
④设有四个函数y=x-1，y=x13，y=x12，y=x3，其中在R上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是______．（漏填、多填或错填均不得分）
正确答案
①当两直线m，n与平面α均平行，且相交时，所成的角相等，均为0度，显然错误
②若p：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∃x∈R，sinx＞1 正确
③根据特称命题的否定判断，可知③正确
④根据幂函数的图象与性质，只有y=x13，y=x3R上是增函数
故答案为：②③
若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
正确答案
逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，
如当a=1，b=-3，c=2时，方程x2-3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0
否命题“若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根”是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题
逆否命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题．
因为原命题是真命题，它与原命题等价
命题“∃x∈R，2x2-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为______．
正确答案
命题“∃x∈R，使2x2-3ax+9＜0成立”是假命题，
即“2x2-3ax+9≥0恒成立”是真命题．
△=9a2-72≤0，解得-2
故答案为：[-2
判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（1）末尾数是偶数的数能被4整除；
（2）对任意实数x，都有x2-2x-3＜0；
（3）方程x2-5x-6=0有一个根是奇数．
正确答案
（1）该命题是全称命题，（2分）
该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；（2分）
该命题的否定是真命题．（1分）
（2）该命题是全称命题，（2分）
该命题的否定是：存在实数x，使得x2-2x-3≥0；（2分）
该命题的否定是真命题．（1分）
（3）该命题是特称命题，（2分）
该命题的否定是：方程x2-5x-6=0的两个根都不是奇数；（2分）
该命题的否定是假命题．（1分）
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