热门试卷

(I)1/2   7/12   1/2  7/12

(II)

本试题主要考查了数列的通项公式的求解和数学归纳法的运用。

解：（1），

，   

（2）猜想： 即：

（n∈N*）

下面用数学归纳法证明

①       n=1时，已证S1=T1 

②       假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

则

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.

（1）彼此最多分割成条线段.   （2）由已知得  

（3）  

（1）利用数学归纳知识归纳出结论；（2）根据相邻项的关系列出关系式；（3）利用叠加法求解数列的通项，然后利用数学归纳法证明即可

（1）彼此最多分割成条线段.            ………………………………4分

（2）由已知得               ………………………………8分

（3）

（1）彼此最多分割成条线段.   （2）由已知得  

（3）  

（1）利用数学归纳知识归纳出结论；（2）根据相邻项的关系列出关系式；（3）利用叠加法求解数列的通项，然后利用数学归纳法证明即可

（1）彼此最多分割成条线段.            ………………………………4分

（2）由已知得               ………………………………8分

（3）

见解析

根据已知条件可知归纳猜想结论为

下面给出运用综合法的思想求解和证明。解：结论为：．    …………………5分

证明：

所以

对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有2n-1，对应各式右端为一般也有.

解：归纳得一般结论

证明：当n=1时，结论显然成立.

当n≥2时，

故结论得证.

，.

故

（1）a1=1，a2= a3= a4= an=(n∈N*)（2）证明略

（1）解 当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.

当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.

当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.

当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.

由此猜想an=(n∈N*).

（2）证明 ①当n=1时，a1=1，结论成立.

②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，即ak=,

那么n=k+1时，

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.

∴2ak+1=2+ak,

∴ak+1===,

这表明n=k+1时，结论成立，

由①②知猜想an=（n∈N*）成立.

证明略

证明 （1）当n=2时，左边=1+=；右边=.

∵左边＞右边，∴不等式成立.

（2）假设n="k" (k≥2,且k∈N*)时不等式成立，

即（1+）（1+）…（1+）＞.

则当n=k+1时，

（1+）（1+）…（1+）＞

＞·==

＞==.

∴当n=k+1时，不等式也成立.

由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.