数学归纳法
共357题

数学归纳法
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题型：填空题

填空题

观察下列式子 , … … ,则可归纳出_______.

正确答案

观察左右式子结构可归纳出

题型：简答题

简答题

（不等式选讲）

用数学归纳法证明不等式：（且）

正确答案

：略

：（1）当时，成立；

（2）设时，成立；

则当时，

由于当时，，即：

则当时，

题型：填空题

填空题

用数学归纳法证明：“”，第一步在验证时，左边应取的式子是＿＿＿＿.

正确答案

左边=

题型：简答题

简答题

数列满足且 .

用数学归纳法证明：；

正确答案

证明略

(1)①当n=2时，，不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立，即（，

那么.

这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据①②可知：对所有成立.

题型：简答题

简答题

（12分）用数学归纳法证明等式对所以n∈N*均成立．

正确答案

题型：填空题

填空题

用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为________．

正确答案

当n≤4时，2n≤n2＋1；当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n0应取为5.

题型：填空题

填空题

用数学归纳法证明：“”，在验证时，左边计算的值＝＿＿＿.

正确答案

左边=1+2+3=6

题型：简答题

简答题

（本题满分10分）设，是否存在整式，使得

对n≥2的一切自然数都成立?并试用数学

归纳法证明你的结论.

正确答案

略

解：假设存在整式，使得对n≥2的一切自然数都成立,则

当n=2时有,又∵,∴;

当n=3时有,又∵,

∴;……, 猜想：g(n)=n(n≥2),

下面用数学归纳法加以证明：

(1)当n=2时，已经得到证明.

(2)假设当n=k(k≥2，k∈N)时，结论成立,即

存在g(k)=k，使得对k≥2的一切自然数都成立成立.则当n=k+1时，

又∵∴,

∴,

∴当n=k+1时，命题成立.

由(1)(2)知,对一切n(n≥2,n∈N*)有=n，使得

都成立.

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B ，按照某种运算程序：

①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；

②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍；

试问：当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论。

正确答案

，证明见解析。

由已知得

当时，，

同理可得 ---------------------4分

猜想 -------------------6分

下面用数学归纳法证明成立

①当时，由上面的计算结果知成立 ------8分

②假设时，成立，即，

那么当时，

即

当时，也成立 ---------------13分

综合①②所述，对，成立。-----14分

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

已知函数为常数，数列满足：，，．

（1）当时，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，证明对有：；

（3）若，且对，有，证明：．

正确答案

（1），

（2）可以用裂项法求和进而证明也可以用数学归纳法证明

（3）可以用基本不等式证明也可以用导数证明，还可以利用数列的单调性证明

试题分析：（1）当时，，

两边取倒数，得， ……2分

故数列是以为首项，为公差的等差数列，

，，． ……4分

（2）证法1：由（1）知，故对

……6分

所以

． ……9分

[证法2：①当n=1时，等式左边，等式右边，左边=右边，等式成立； ……5分

②假设当时等式成立，

即，

则当时

这就是说当时，等式成立， ……8分

综①②知对于有：

． ……9分】

（3）当时，

则， ……10分

∵，

∴ ……11分

． ……13分

∵与不能同时成立，∴上式“=”不成立，

即对，． ……14分

【证法二：当时，，

则 ……10分

又

……11分

令则 ……12分

当所以函数在单调递减，故当所以命题得证 ……14分】

【证法三：当时，， ……11分

数列单调递减，

，

所以命题得证 ……14分】

点评：本小题比较综合，既考查了数列的通项公式的求解，也考查了数列的前n项的求解，还考查了数列的性质的应用以及基本不等式、导数等的综合应用，难度较大，要求学生具有较高的分析问题、转化问题、解决问题的能力和运算求解能力.

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