热门试卷

（1）∵a2=(1-a21)，且a1∈（0，1），由二次函数性质可知a2∈（0，）．

∵a3=(1-)及a2∈(0，)∴a3∈(，)．(3分)

（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，＜a3＜，

则-＜-(-1)＜a3-(-1)＜-(-1)＜，

于是当n=3时，|an-(-1)|＜成立．

②假设在n=k（k≥3）时，|an-(-1)|＜（*）成立，即|ak-(-1)|＜．

则当n=k+1时，|ak+1-(-2)|=|--(-1)|=|ak-(-1)|•|ak+-1|，

其中0＜ak+-1＜2(-1)+＜1(k≥3)

于是|ak+1-(-1)|＜|ak-(-1)|＜，

从而n=k+1时（*）式得证．

综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(-1)|＜．

（3）由|an-(-1)|＜(n≥3)变形为：|-|＜•=•，

而由-1-＜an＜-1+（n≥3，n∈N）

可知：-1-＜an＜+1+在n≥3上恒成立，

于是＜，＜＜12，

又∵|an-(-1)|＜，∴|-(+1)|＜，

从而原不等式|bn-(+1)|＜（n≥3，n∈N）得证．（14分）

证明：当n=1时，

xn-nan-1x+（n-1）an=x-x=0

易得此时xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立；

设n=k时，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立，

即xk-kak-1x+（k-1）ak能被（x-a）2整除成立，

则n=k+1时，

xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1=xk-kak-1x+（k-1）ak+kak─1（x─a）2

即xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1也能被（x-a）2整除

综合，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．

当n＝1，2时f(n)<；当n≥3时f(n)>.

当n＝1，2时f(n)<；

当n≥3时f(n)>.

下面用数学归纳法证明：

①当n＝3时，显然成立；

②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)>，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)>＋＝>＝，即n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立．

证明：（1）当n=1时，左=1-==右，等式成立．

（2）假设当n=k时等式成立，

即1-+-+…+-=++…+

则1-+-+…+-+(-)=++…++(-)=+…+++∴当n=k+1时，等式也成立．

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立．

（1）()．（2）当时，满足条件.

试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得，．所以时，；当时，．第二步猜想，()．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设，则，又，且501=1501=3167，故 或所以 或

由解得；由得无整数解．所以当时，满足条件．

试题解析：（1）由已知得，．

所以时，；当时，．      2分

猜想：()．                                   3分

下面用数学归纳法证明：

①当时，结论成立．

②假设当时，结论成立，即，

将代入上式，可得．

则当时，

．

故当结论成立，

根据①,②可得，()成立．                        5分

（2）将代入，得，

则，，

设，则，

即，                                   7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得无整数解．

所以当时，满足条件．                                          10分

见解析

【证明】(1)当n=2时,左边=+=>,不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,

则++…+>,

则当n=k+1时,

左边=++…+++

=+++…+++->+->.

∴当n=k+1时,不等式成立,

根据(1)(2)知,原不等式对n∈N*且n>1都成立.

证明：（1）①当n=1时，

∵x2==x1+，

x2===2+，x1=a＞2，

∴2＜x2＜x1．

结论成立．

②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），

则xk+2==xk+1+＞xk+1，

xk+2==2+＞2．

∴2＜xk+2＜xk+1，

综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．

∴x n＞2且＜1．

（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立

假设不等式当n=k（k≥1）时成立

当n=k+1时，由条件及xk＞2知xk+1≤1+⇔≤2(xk-1)(2+)

⇔-2(2+)xk+2(2+)≤0

⇔(xk-2)[xk-(2+)]≤0，

再由xk＞2及归纳假设知，

上面最后一个不等式一定成立，

所以不等式xk+1≤2+也成立，

从而不等式xn≤2+对所有的正整数n成立

满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（++…+）≥n2（n≥2），

证明如下：

（1）当n=2时，猜想成立；

（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xn）（++…+）≥k2，

那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（++…+）≥k2+2k+1=（k+1）2

则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．

（I）分别令n=1，2，3，4，得：

a2=，a3===，

a4===

a5===．

（II）由此，猜想 an=

下面用数学归纳法证明此结论正确．

证明：（1）当n=1时，显然结论成立  

（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即 ak=

那么ak+1===，

也就是说，当n=k+1时结论成立．

根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即 an=