热门试卷

（1）；（2）见解析.

(1)根据递推关系可以依次求出，，，.

(2)采用数学归纳法。

解:：（1），，，…………4分

（2）猜想，证明：由已知易知为非负整数。…………6分

①当时，=，能被3整除…………8分

②假设当时，能被3整除，

当时，

也能被3整除

…………12分

综合①②对于任意的正整数，都能被3整除，且…………14分

利用数学归纳法。

试题分析：（1）当n=1时，左边= ，右边=，等式成立。

（2）假设n=k时，等式成立，即…=，

那么n=k+1时，……

=

=，

这就是说，当n=k+1时 等式也成了

故对一切等式都成立。

点评：容易题，利用数学归纳法，可证明与自然数有关的命题，证明过程中，要注意规范写出“两步一结”。

解：（1），

，    …………………………………4分

（2）猜想： 即：

（n∈N*）……5分

下面用数学归纳法证明

n=1时，已证S1=T1  ………………………………………………………………6分

假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

………………8分

则

 ……………………………………………………10分

 ……………………11分

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………14分

略

见解析

①当n＝2时，左边＝＞1，

∴n＝2时不等式成立；

②假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即＞1，

那么当n＝k＋1时，

左边＝

＝

＞1＋(2k＋1)·＞1.

综上，对于任意n∈N*，n>1不等式均成立，原命题得证．

见解析

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)

＞()k·()=()k+1

(1) ，；

（2）猜想：（）证明：见解析.

（1）令 代入，

．可求得，；

（2）由（1）可猜想。用数学归纳法证明，一定用上归纳假设，代入整理可得证。

解：(1) ，；

（2）猜想：（）

证明：(1)当时，；

（2）假设当时，，

即，

当时

，即，

结合（1）（2），可知，成立.

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）通过列举进行计算；（Ⅱ）先从特殊入手，

当时，，，；

当时，，，，所以；

从特殊到一般探求与之间的递推关系，从而便于用数学归纳法证明.

试题解析：（Ⅰ）当时，，，，所以；

（Ⅱ）由，，

猜想，下面证明：

（1）易知时成立；

（2）假设时，

则时，

（其中，为时可能的个数的乘积的和为），

即时也成立，

综合（1）（2）知对，成立．

所以．