热门试卷

（Ⅰ）f′(x)=-2x-1，∵x=0时，f（x）取得极值，

∴f'（0）=0，

故 -2×0-1=0，解得a=1．经检验a=1符合题意．

（Ⅱ）由a=1知 f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=-x+b，得 ln(x+1)-x2+x-b=0．

令 φ(x)=ln(x+1)-x2+x-b，

则 f(x)=-x+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根，

等价于φ（x）=0在[0，2]上恰有两个不同实数根． φ′(x)=-2x+=，

当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上单调递增；

当x∈（1，2）时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上单调递减；

依题意有，解可得ln3-1≤b＜ln2+.

（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x2-x的定义域为{x|x＞1}．

由（Ⅰ）知 f′(x)=．令f′(x)=0时，x=0或x=-（舍去），

∴当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．

∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．

∴f（x）≤f（0），

故ln（x+1）-x2-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．

对任意正整数n，取 x=＞0得，ln(+1)＜+，故ln＜．

即ln(n+1)-lnn＜

分别取n=1，2，3，…，n得：

ln(1+1)-ln1＜，

ln(2+1)-ln2＜，

…

ln(n+1)-lnn＜．

以上n个式子相加得：++…+＞ln(n+1)．

（I）由an存在，且A=an(A＞0)，对an+1=a+两边取极限得A=a+，解得A=．又A＞0，∴A=.

（II）由an=bn+A，an+1=a+得bn+1+A=a+.∴bn+1=a-A+=-+=-.

即bn+1=-对n=1，2，都成立

（III）令|b1|≤，得|a-(a+)|≤.

∴|(-a)|≤.

∴-a≤1，解得a≥.

现证明当a≥时，|bn|≤对n=1，2，都成立.

（i）当n=1时结论成立（已验证）．

（ii）假设当n=k(k≥1)时结论成立，即|bk|≤，那么|bk+1|=≤×

故只须证明≤，即证A|bk+A|≥2对a≥成立.

由于A==，

而当a≥时，-a≤1，∴A≥2.

∴|bk+A|≥A-|bk|≥2-≥1，即A|bk+A|≥2.

故当a≥时，|bk+1|≤×=.

即n=k+1时结论成立．

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立．

故|bn|≤对n=1，2，都成立的a的取值范围为[，+∞).

（1）是，理由见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查等比数列的定义、等比数列的证明、数学归纳法、放缩法等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，通过对已知表达式的移项，变形可得出数列的通项，可以用等比数列的定义证明也可以用数学归纳法证明；第二问，将第一问的结论代入，得到表达式，法一：利用放缩法和裂项相消法证明，法二：利用数列的累加法和放缩法证明.

试题解析：⑴由得，

∴对一切，可知是首项为，公比为的等比数列. 5分

（通过归纳猜想，使用数学归纳法证明的，亦应给分）

（2）由（1）知                      6分

证一：

                              10分

12分

证二：∵ ≥（仅当时等号成立），故此，≤10分

从而，≤＜ 12分

（1），（2）p=-2，q=-1.

试题分析：（1）因为，所以的系数为,（2）计算得，代入，解得p=-2，q=-1，用数学归纳法证明，①当n=2时，b2=，结论成立；②设n=k时成立，即，则当n=k+1时，bk+1=bk+，由①②可得结论成立.

（1）根据多项式乘法运算法则，得；

（2）计算得，

代入，解得p=-2，q=-1，

下面用数学归纳法证明，

①当n=2时，b2=，结论成立；

②设n=k时成立，即，

则当n=k+1时，

bk+1=bk+，

由①②可得结论成立.

见解析

解：当n＝1时，＋＋>，

即>，所以a<26，而a是正整数，

所以取a＝25.

下面用数学归纳法证明：

＋＋…＋>.

①当n＝1时，已证；

②假设当n＝k时，不等式成立，

即＋＋…＋>.

则当n＝k＋1时，有

＋＋…＋

＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－]．

因为＋＝>，

所以＋－>0，

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知，对一切正整数n，

都有＋＋…＋>，

所以a的最大值等于25.

（1）bn＝3n－2.（2）当a＞1时，Sn＞logabn＋1，当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1

(1)设数列{bn}的公差为d，

由题意得∴bn＝3n－2.

(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga

＝loga

而logabn＋1＝loga，于是，比较Sn与logabn＋1的大小比较

(1＋1)与的大小.

取n＝1，有1＋1＝>＝，

取n＝2，有(1＋1)>>＝.

推测(1＋1)…＞，(*)

①当n＝1时，已验证(*)式成立；

②假设n＝k(k≥1)时(*)式成立，即(1＋1)＞，

则当n＝k＋1时，

(1＋1)>.

∵－＝>0，∴，

从而(1＋1)，即当n＝k＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n都成立．于是，当a＞1时，Sn＞logabn＋1，当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由题意得：，．因为，所以．.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）而

，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立．（2）假设当（）时结论成立，即都是整数，由（Ⅱ）问知．即时，结论也成立．

解：（Ⅰ）由，．

因为，所以．

．     3分

（Ⅱ）由，得

．

即，同理，．

所以．

所以．     8分

（Ⅲ）用数学归纳法证明．

（1）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立．

（2）假设当（）时结论成立，即都是整数．

由，得．

即．

所以，．

所以．

即．

由都是整数，且，，所以也是整数．

即时，结论也成立．

由（1）（2）可知，对于一切，的值都是整数．      13分

详见解析.

试题分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

试题解析：解：若存在常数a，b使得等式成立，将n＝1，n＝2代入等式

有：

即有：          4分

对于n为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明

证明：（1）当n＝1时，等式成立。                5分

（2）假设n＝k时等式成立，即

          7分

当n＝k＋1时，即

           11分

也就是说n＝k＋1时，等式成立，

由（1）（2）可知等式对于任意的n∈N*都成立。            12分.