热门试卷

见解析.

证：当n=1时，左边=-14,右边=-1·2·7=-14，等式成立

假设当n=k时等式成立，即有

那么 当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时等式也成立

根据以上论证可知等式对任何都成立

命题对于一切自然数n（n∈N）均成立。

解.猜想的值应为其最大公约数36.

①显然正确.

②设n=k时命题正确，即f (k) = (2k+7)·3k+ 9 能被36整除.

则时 ,

能被36整除，

即n=k+1时，命题正确。

综合上述，命题对于一切自然数n（n∈N）均成立。

（1），（2）

，，猜想

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立

（2）假设n=k时猜想成立，即

则

所以当n=k+1时，猜想也成立

综合（1）（2），对猜想都成立

（I）证明：

∵bn+1=log13=log13=log13()2=2log13()=2bn，

（2分）

∵b1=log13=2，∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）

∴bn=2n，即log13=2n，得=()2n，所以an=．（6分）

（II）证明：（i）当n=2时，∵a1＞2，

∴a2-2=-2=＞0，

∴a2-2-=-=＜0，

∴2＜a2＜2+，不等式成立；（8分）

（ii）假设当n=k（k≥2）时，2＜ak＜2+成立，

那么，当n=k+1时，去证明2＜ak+1＜2+

∵ak+1-2=-2=＞0，

∴ak+1＞2；

∵ak+1-2-=-＜-=-，-＜-=0

∴ak+1＜2+；

∴2＜ak+1＜2+，

所以n=k+1不等式也成立，

由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）

（1）因为对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=2x+r（其中r为常数）的图象上

所以得Sn=2n+r，

当n=1时，a1=S1=2+r，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+r-（2n-1+r ）=2n-1，

又因为{an}为等比数列，所以公比为2，r=-1，

（2）由（1）知，an=2n-1，

∴bn=2（log2an+1）=2（log22n-1+1）=2n

则=，

所以•…=•…

下面用数学归纳法证明不等式•…＞成立．

①当n=1时，左边=，右边=，因为＞，所以不等式成立．

②假设当n=k时不等式成立，即•…＞成立．

则当n=k+1时，左边=•…•＞•==＞

所以当n=k+1时，不等式也成立．

由①、②可得不等式恒成立．

∴不等式•…＞成立．

（Ⅰ）∵=an(n∈N*)，∴bn===4bn+1，

∴=

∵a1=3，b1=

∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列

∴bn=；

（Ⅱ）∵bn=，∴an=

∵（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，

∴t≤=2n+对任意n∈N*恒成立

∵y=m+(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增

∴(2n+

9

2n

)min=min{2+，4+}=

∴t≤

∴实数t的取值范围是(-∞，]；

（Ⅲ）∵cn==1-，

猜想(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)

用数学归纳法证明：

①n=1时，左边==右边；n=2时，左边=，右边=，左边＞右边；

②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)

则n=k+1时，左边=(1-)(1-)  …  (1-)(1-)≥[1-(++ …+)](1-)

＞1-(++ …+)=右边

由①②知，猜想(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)成立

又++ …+＜=

∴c1•c2•c3…cn=(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)＞1-＞

∴c1•c2•c3…cn＞

证明：由已知，得Sn=3n-1

要证明≤等价于≤即3n≥2n+1（*）

（方法一）用数学归纳法证明

①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立

②假设当n=k时（*）成立，即3k≥2k+1

那么当n=k+1时，3k+1=3×3k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1

所以当n=k+1时（*）也成立

综合①②可得，3n≥2n+1

≤

（法二）当n=1时，左边=，右边=4，所以（*）成立

当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=1+2n+…＞1+2n

所以≤

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．

②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，

因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），

所以ak+1＜ak+2．

即当n=k+1时，an＜an+1也成立．

根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．

（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），

得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．

因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．

由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，

所以Sn＞n-2．

解：（1）

因为，

所以。

（2）f（x）是奇函数。

证明：因为，

所以

因此，f（x）为奇函数。

（3）证明：先用数学归纳法证明

（i）当n=1时，；

（ii）假设当n=k时，

那么当n=k+1时，

由以上两步可知，对任意

因为

所以。