热门试卷

解：（1）由存在，且，对两边取极限得

，解得

又

∴。

（2）由得

∴

即对n=1，2，3，…都成立。

（3）令，得

∴

∴，解得

现证明当时，对n=1，2，3，…都成立

（i）当n=1时结论成立（已验证）

（ii）假设当n=k（k≥1）时结论成立，即

那么

故只须证明，即证对成立

由于

而当时，

∴

∴，即

故当时，

即n=k+1时结论成立

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立

故对n=1，2，3，…都成立的a的取值范围为。

解：（1）用数学归纳法证明：

1°当n=1时，，

∴，命题正确；

2°假设n=k时有，

则n=k+1时，

而，

∴，

又，

∴n=k+1时命题正确；

由1°、2°知，对一切n∈N时有。

（2）下面来求数列的通项：，

所以，

令，

则，

又bn=-1，

所以，即。

解：（1）由a1=2，得a2=a21-a1+1=3，

由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a23-3a3+1=5

由此猜想an的一个通项公式为：an=n+1（n∈N*）。

（2）证明：①当n=1时，a1≥2，不等式成立

②假设当n=k（k∈N*且k≥1）时不等式成立，即ak≥k+1，

那么当n=k+1时，

ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2，

也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+1

根据①和②，对于所有n∈N*，都有an≥n+1。

解：（1）在中，令n=1，可得，

，即

当时，，

∴

∴

即

∵

∴

即当时，

又

∴数列是首项和公差均为1的等差数列

于是

∴。

（2）由（1）得，

所以 ①

 ②

由①-②得

∴

∴

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由 

可猜想当时，证明如下：

（i）当n=3时，成立。

（ii）假设时

所以当时猜想也成立

综合（i）（ii）可知 ，对一切的正整数，都有

∴＞0

证明：（Ⅰ），

∴数列{bn}为等差数列。

（Ⅱ）因为，

所以，

原不等式即为证明，

即成立，

用数学归纳法证明如下：

当n=2时，成立，所以n=2时，原不等式成立；

假设当n=k时，成立，

当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，不等式成立；

所以对n∈N*，n≥2，总有成立。

解：（1）由，

又∵的公差d大于0，

∴，

从而，，

∴。

又已知，令n=1，得，

∴，

由，当n≥2时，，

两式相减，得，（n≥2），

∴。

（2）∵，

∴，，

以下比较与的大小：

当n=1时，，；

当n=2时，，；

当n=3时，，；

当n=4时，，；

猜想：n≥4时，，

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证；

②假设n=k（k∈N*，k≥4）时，，即，

那么，n=k+1时，

，

∴n=k+1时，也成立，

由①②可知，n∈N*，n≥4时，；

综上所述，当n=1，2，3时，；当n≥4时，。

（1）解：；

（2）证明：当b=2时，，，

则，

所以，

下面用数学归纳法证明不等式成立。

①当n=1时，左边=，右边=，因为，所以不等式成立；

②假设当时，不等式成立，即成立，

则当时，下面证明时，不等式： 成立，

左边=

，

所以当时，不等式也成立。

（Ⅰ）解：因为数列为常数列，

所以，，

，

由n的任意性知，或。

（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明，

①当n=1时，，符合上式；

②假设当n=k（k≥1）时，，

因为， 所以，即，

从而，即，

因为，

所以，当n=k+1时，成立，

由①，②知，。

（Ⅲ）证明：因为

（n≥2），

所以只要证明，

由（Ⅱ）知，，

所以只要证明，

即证明，

令，

，

所以函数f(x)在R上单调递增；

因为，

所以，，即成立，

故，所以数列单调递减。

解：（Ⅰ）由，得；

由，得；

由，得；

由此猜想an的一个通项公式：。

（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当，不等式成立；

②假设当n=k时不等式成立，即，

那么，，

也就是说，当n=k+1时，，

根据①和②，对于所有n≥1，有。

（ⅱ）由及（ⅰ），对k≥2，

有，

∴，

于是，

。