热门试卷

解：当n=1时，，

即，即<26，

又∈N*，

∴取=25，

下面用数学归纳法证明：，

（1）当n=1时，已证。

（2）假设当n=k时，成立，

则当n=k+1时，有

，

∵，

∴成立；

由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，都有不等式成立。　

∴的最大值为25。

证明：∵a，b为正数，∴不等式等价于

当a≥b时，a-b≥0，an≥bn，即bn-an≤0，∴(a-b)( bn-an)≤0， 　

当a＜b时，a-b＜0，an＜bn，即bn-an＞0，∴(a-b)( bn-an)＜0，

因此≤0

即

∴原不等式成立。

解：（1）由方程x2+x-1=0解得方程的根为

又∵α，β是方程的两个实根，且α>β

∴

（2）∵

∴

下面用数学归纳法证明当n≥1时，an-α>0成立

①当n=1时

命题成立；

②假设n=k（k≥1）时命题成立，即ak-α>0，

此时有ak>α>0

则当n=k+1时，

命题成立，根据数学归纳法可知，对任意的正整数n，有an-α>0。

（3）根据（2）同理可得，对任意的正整数n有

仍由（2）知，对任意的正整数n，

于是对任意的正整数n，

∴

∴

即数列{bn}是首项为b1，公比为2的等比数列，故数列{bn}前n项之和为

。

解：（1）

，即

又，故

所以是首项为，公比为4的等比数列

，；

（2）a1=1，a2=c-1，由a2>a1得c>2

用数学归纳法证明：当c>2时，an＜an+1 （i）当n=1时，a2=c->a1，命题成立；

（ii）设当n=k时，ak＜ak+1，则当n=k+1时

故由（i）（ii）知当c>2时，an＜an+1当c>2时，令

由得an＜α

当时，an＜α≤3

当时，α>3，且1≤an＜a，于是

当时，α-an+1＜α-3，an+1>3

因此不符合要求

所以c的取值范围是。

解：（1）由存在，且，对两边取极限得

，解得

又

∴。

（2）由得

∴

即对n=1，2，3，…都成立。

（3）令，得

∴

∴，解得

现证明当时，对n=1，2，3，…都成立

（i）当n=1时结论成立（已验证）

（ii）假设当n=k（k≥1）时结论成立，即

那么

故只须证明，即证对成立

由于

而当时，

∴

∴，即

故当时，

即n=k+1时结论成立

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立

故对n=1，2，3，…都成立的a的取值范围为。

解：（1）用数学归纳法证明：

1°当n=1时，，

∴，命题正确；

2°假设n=k时有，

则n=k+1时，

而，

∴，

又，

∴n=k+1时命题正确；

由1°、2°知，对一切n∈N时有。

（2）下面来求数列的通项：，

所以，

令，

则，

又bn=-1，

所以，即。