热门试卷

见解析

①当n=1时,左边==,右边==,

左边=右边,等式成立;

②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,

即++…+=,

当n=k+1时,左边

=++…+

+

=+

=

=

=,

所以当n=k+1时,等式成立.

由①②可得对任意n∈N*,等式成立.

证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．

因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明不等式bn≤．

（1）当n=1时，b1=-1，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．

那么bk+1=|ak+1-|=

bk≤．

所以，当n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．

所以Sn=b1+b2+…+bn≤（-1）++…+=（-1）•＜（-1）•=．

故对任意n∈N*，Sn＜．

见解析

①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－1·(2＋1)＝－3，

故原式成立．

②假设当i＝m时，等式成立，即Sm(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

则当i＝m＋1时，

S(m＋1)[2(m＋1)＋1]＝S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

综合①②得：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．

（1）见解析（2）见解析

(1)f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．

(2)(用数学归纳法)①当n＝1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＞a1.

由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＜f(1)＝1，即a1＜a2＜1成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1＜1成立，

即0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

那么当n＝k＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

得f(ak)＜f(ak＋1)＜f(1)，而an＋1＝f(an)，则ak＋1＝f(ak)，ak＋2＝f(ak＋1)，即ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，an＜an＋1＜1也成立．

由①②可得对任意的正整数n，an＜an＋1＜1恒成立．

见解析

(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴当n＝2时，命题成立．

(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，

那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]，

这表明，当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

（3）

由

（1）用数学归纳法证明：

于上当n=k+1时，结论仍成立，根据（i）（ii）知（1）成立          …………4分

是增函数，（）是减函数，

且                                             …………8分

成立，即结论成立      …………9分

（3）由（2）知，……11分

即

又

                                                 …………14分

试题分析：根据给出的式子的规律总结出能得到的不等式的通式证明则需要运用数学归纳法．

根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：

用数学归纳法证明如下：

(1)当n="1" 时,猜想成立．

(2)假设当时猜想成立，即

则当时，

这就说明猜想也成立，由（1）（2）知，猜想对一切都成立．

成立，证明见答案

（1）当时，等式成立．当时，左边，右边，左边右边，等式不成立．

（2）假设时等式成立，即有

，而

时等式成立．

但时，；     

时，．

故时等式均不成立．