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题型: 单选题
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单选题 · 20 分

开学初,小源到建设银行营业网点兑换了此前在网上预约的中国高铁纪念币。这枚纪念币由中国人民银行发行,面额10元,每人限兑20枚,且需要提前预约。小源打算与班上同学分享自己的喜悦。他可以向大家这样介绍

①纪念币面额和实际购买力都是由中国人民银行规定的

②纪念币可以直接购买商品,也具有支付手段等货币职能

③纪念币发行量有限,具有一定的收藏价值和升值空间

④纪念币不能与同面额人民币等值流通,必须在规定时间地点使用

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

C

解析

①错误,国家无权规定纪念币的实际购买力;④错误,纪念币与同面额人民币等值流通,在任何时间地点都可使用;由中国人民银行发行的纪念币属于法定货币,可以直接购买商品,也具有支付手段等货币职能,因其发行量有限,具有一定的收藏价值和升值空间,故②③正确。

知识点

生产决定消费
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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)在各项为正的数列中,数列的前n项和满足

(1)求;(2) 由(1)猜想数列的通项公式;(3) 求

正确答案

(1);(2);(3)

本试题主要是考查了数列的通项公式和前n项和的关系的运用。

(1)因为对于n令值可知,首项的值以及第n项与前n项和之间的关系式得到结论。

(2)进而归纳猜想结论,并运用数学归纳法加以证明,注意n=k,n=k+1的式子的变化以及假设的运用。

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题型:简答题
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简答题

已知数列中,的前项和,且的等差中项,其中是不等于零的常数.

(1)求; (2)猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.

正确答案

(1);(2)见解析.

(1)先确定,然后要以先求出a1,进而可以求出a2,a3;

(2)根据第(1)求出的结果进行猜想.然后再利用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可. 

解: (1)由题意,                     

时,, ∴ ;           

时,,  ∴ ;     

时,,   ∴ ; 

(2)猜想:.                      

证明:①当时,由(1)可知等式成立;            

②假设时等式成立,即:

则当时,

,  ∴, 

时等式也成立.                            

综合①②知:对任意均成立.  

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题型:填空题
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填空题

用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于   .

正确答案

试题分析:当时,等式的左边为,当时,等式的左边为,所以当时等式左边与时的等式左边的差等于.

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题型:填空题
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填空题

在数学归纳法证明“”时,验证当时,等式的左边为          .

正确答案

1+a.

把n=1代入左边式子可知左边为1+a.

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题型:填空题
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填空题

观察下列不等式

……

照此规律,第五个不等式为________.

正确答案

试题分析:由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性得:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号的平方,右边分式中的分子与不等式序号的关系是,分母是不等式的序号,得出第个不等式,即可得到第个不等式的通式为,再令,即可得出第五个不等式.

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题型:填空题
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填空题

已知,不等式,…,可推广为,则等于           .

正确答案

试题分析:因为,……,所以该系列不等式,可推广为,所以当推广为时,.

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题型:简答题
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简答题

用数学归纳法证明:

正确答案

详见解析

试题分析:由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知:第一步应验证初值时不等式成立;第二步进行归纳假设:假设当时所证不等式成立,在此基础上来证明当时所证不等式也成立;特别注意在证时一定要用到时的结论;第三步下结论:在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式对一切都成立.

试题解析:证明:(1)当时, , 命题成立。

(2)假设当时, 成立

时,

+

时命题成立。

所以对于任意都成立.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)已知

(1)当时,试比较的大小关系;

(2)猜想的大小关系,并给出证明.

正确答案

21.解:(1) 当时,,所以

时,,所以

时,,所以.………3分

(2)由(1),猜想,下面用数学归纳法给出证明:

①当时,不等式显然成立.

②假设当时不等式成立,即,....6分

那么,当时,

因为

所以

由①、②可知,对一切,都有成立.………………12分

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题型:简答题
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简答题

已知数列的前项和为,满足,且

(Ⅰ)求

(Ⅱ)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)猜想数列的通项公式为

下面用数学归纳法进行证明:

(1)      当时,,猜想成立.

(2)      假设当时,成立,

则当时,由,得

,得

两式作差得:

,所以猜想成立.

综上所述,对一切正的自然数都有

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