- 数学归纳法
- 共357题
开学初,小源到建设银行营业网点兑换了此前在网上预约的中国高铁纪念币。这枚纪念币由中国人民银行发行,面额10元,每人限兑20枚,且需要提前预约。小源打算与班上同学分享自己的喜悦。他可以向大家这样介绍
①纪念币面额和实际购买力都是由中国人民银行规定的
②纪念币可以直接购买商品,也具有支付手段等货币职能
③纪念币发行量有限,具有一定的收藏价值和升值空间
④纪念币不能与同面额人民币等值流通,必须在规定时间地点使用
正确答案
解析
①错误,国家无权规定纪念币的实际购买力;④错误,纪念币与同面额人民币等值流通,在任何时间地点都可使用;由中国人民银行发行的纪念币属于法定货币,可以直接购买商品,也具有支付手段等货币职能,因其发行量有限,具有一定的收藏价值和升值空间,故②③正确。
知识点
(本题满分12分)在各项为正的数列中,数列的前n项和满足
(1)求;(2) 由(1)猜想数列的通项公式;(3) 求
正确答案
(1);(2);(3)
本试题主要是考查了数列的通项公式和前n项和的关系的运用。
(1)因为对于n令值可知,首项的值以及第n项与前n项和之间的关系式得到结论。
(2)进而归纳猜想结论,并运用数学归纳法加以证明,注意n=k,n=k+1的式子的变化以及假设的运用。
已知数列中,
是
的前
项和,且
是
与
的等差中项,其中
是不等于零的常数.
(1)求; (2)猜想
的表达式,并用数学归纳法加以证明.
正确答案
(1),
,
;(2)见解析.
(1)先确定,然后要以先求出a1,进而可以求出a2,a3;
(2)根据第(1)求出的结果进行猜想.然后再利用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可.
解: (1)由题意,
当时,
, ∴
;
当时,
, ∴
;
当时,
, ∴
;
(2)猜想:.
证明:①当时,由(1)可知等式成立;
②假设时等式成立,即:
,
则当时,
,
∴, ∴
,
即时等式也成立.
综合①②知:对任意
均成立.
用数学归纳法证明: 的第二步中,当
时等式左边与
时的等式左边的差等于 .
正确答案
试题分析:当时,等式的左边为
,当
时,等式的左边为
,所以当
时等式左边与
时的等式左边的差等于
.
在数学归纳法证明“”时,验证当
时,等式的左边为 .
正确答案
1+a.
把n=1代入左边式子可知左边为1+a.
观察下列不等式
……
照此规律,第五个不等式为________.
正确答案
.
试题分析:由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性得:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号的平方,右边分式中的分子与不等式序号
的关系是
,分母是不等式的序号
,得出第
个不等式,即可得到第
个不等式的通式为
,
,再令
,即可得出第五个不等式.
已知,不等式
,
,
,…,可推广为
,则
等于 .
正确答案
试题分析:因为,……,所以该系列不等式,可推广为
,所以当推广为
时,
.
用数学归纳法证明:
正确答案
详见解析
试题分析:由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知:第一步应验证初值时不等式成立;第二步进行归纳假设:假设当
时所证不等式成立,在此基础上来证明当
时所证不等式也成立;特别注意在证
时一定要用到
时的结论;第三步下结论:在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式对一切
都成立.
试题解析:证明:(1)当时,
,
命题成立。
(2)假设当时,
成立
当时,
+
当时命题成立。
所以对于任意都成立.
(本小题满分12分)已知,
,
.
(1)当时,试比较
与
的大小关系;
(2)猜想与
的大小关系,并给出证明.
正确答案
21.解:(1) 当时,
,
,所以
;
当时,
,
,所以
;
当时,
,
,所以
.………3分
(2)由(1),猜想,下面用数学归纳法给出证明:
①当时,不等式显然成立.
②假设当时不等式成
立,即
,....6分
那么,当时,
,
因为,
所以.
由①、②可知,对一切,都有
成立.………………12分
略
已知数列的前
项和为
,满足
,且
.
(Ⅰ)求,
,
;
(Ⅱ)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
正确答案
(Ⅰ);
;
.
(Ⅱ)猜想数列的通项公式为
.
下面用数学归纳法进行证明:
(1) 当时,
,猜想成立.
(2) 假设当时,
成立,
则当时,由
,得
由,得
两式作差得:
即
,所以猜想成立.
综上所述,对一切正的自然数都有
略
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