热门试卷

1/12,1/20,1/30;1/(n+2)(n+1)

②假设当n=k时，结论成立，即，

则当n=k+1时，

＝，

即

∴当n=k+1时结论成立.

由①②可知，对一切n∈N+都有成立.

利用数学归纳法来证明与自然数相关的命题，分为两步来进行。

试题分析：证明：　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何n∈N*都成立．

点评：主要是考查了数学归纳法的运用，分为两步骤来进行，属于基础题。

证明略

（1）当n=1时，左==右，等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，即

则

当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

①当n=0时,32+51=14,能被14整除,即当n=1时,结论成立;…………………………2分

②假设当n=k时,结论成立,即 34k+2+52k+1(k∈N)能被14整除  ……………………4分

故x=0时F(x)取得极小值为F(0)="4" ………………………………………………5分

(2)F(x)≥0恒成立  当x∈[0，+∞)时F(x)最小值≥0

①当2－a>0即a<2时由(1)知F(x)min=F(0)=4>0符合题意 ………………………7分

②若2－a≤0，即a≥2时，由(1)知x1<x2

∴当x∈[0，+∞)时，F(x)min=F[]≥0

略

证明略

（1）当n=1时，，能被整除；

（2）假设n=k时命题成立，即能被整除

则可设（其中为次多项式）

当当n=k+1时，

能被整除

所以，当n=k+1时，命题仍然成立

由(1)(2)可知，对于命题依然成立.

证明略

（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，即

则

当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；

（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

结论 ：，用数学归纳法证明

试题分析：结论 ：            3分

证明：①当时，显然成立；                5分

②假设当时，不等式成立，

即，         7分

则时，

14分

由①②，不等式对任意正整数成立.            15分

点评：应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;

(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化

，

（1）              ………………3分

（2）猜想：            ………………4分

证明：①当时，成立            ………………5分

②假设当时猜想正确，即

∴           

由于

                    ………………8分

∴，即成立

由①②可知，对成立    ………………10分

运用数学归纳法来加以证明与自然数相关的命题。

试题分析：证明：（1）当时，有，命题成立．       2分

（2）假设当时，命题成立，

即

成立，               4分

那么，当时，有

．

+

 ．

所以当时，命题也成立．                         8分

根据（1）和（2），可知结论对任意的且都成立．       10分

点评：主要是考查了数学归纳法的运用，证明命题，属于中档题。