热门试卷

解：（1）由方程x2+x-1=0解得方程的根为

又∵α，β是方程的两个实根，且α>β

∴

（2）∵

∴

下面用数学归纳法证明当n≥1时，an-α>0成立

①当n=1时

命题成立；

②假设n=k（k≥1）时命题成立，即ak-α>0，

此时有ak>α>0

则当n=k+1时，

命题成立，根据数学归纳法可知，对任意的正整数n，有an-α>0。

（3）根据（2）同理可得，对任意的正整数n有

仍由（2）知，对任意的正整数n，

于是对任意的正整数n，

∴

∴

即数列{bn}是首项为b1，公比为2的等比数列，故数列{bn}前n项之和为

。

解：（1）

，即

又，故

所以是首项为，公比为4的等比数列

，；

（2）a1=1，a2=c-1，由a2>a1得c>2

用数学归纳法证明：当c>2时，an＜an+1 （i）当n=1时，a2=c->a1，命题成立；

（ii）设当n=k时，ak＜ak+1，则当n=k+1时

故由（i）（ii）知当c>2时，an＜an+1当c>2时，令

由得an＜α

当时，an＜α≤3

当时，α>3，且1≤an＜a，于是

当时，α-an+1＜α-3，an+1>3

因此不符合要求

所以c的取值范围是。

解：（1）由存在，且，对两边取极限得

，解得

又

∴。

（2）由得

∴

即对n=1，2，3，…都成立。

（3）令，得

∴

∴，解得

现证明当时，对n=1，2，3，…都成立

（i）当n=1时结论成立（已验证）

（ii）假设当n=k（k≥1）时结论成立，即

那么

故只须证明，即证对成立

由于

而当时，

∴

∴，即

故当时，

即n=k+1时结论成立

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立

故对n=1，2，3，…都成立的a的取值范围为。

解：（1）用数学归纳法证明：

1°当n=1时，，

∴，命题正确；

2°假设n=k时有，

则n=k+1时，

而，

∴，

又，

∴n=k+1时命题正确；

由1°、2°知，对一切n∈N时有。

（2）下面来求数列的通项：，

所以，

令，

则，

又bn=-1，

所以，即。

解：（1）当n≥3时，

可得

∵可得

（2）1°当n=2时，不等式成立；

2°假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即，

那么，当n=k+1时，

所以当n=k+1时，不等式也成立；

根据（1°），（2°）可知，当n≥2，n∈N*时，

（3）设f（x）=ln（1+x）-x，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）

∵当n≥2，n∈N*时，

∴

∴

∴。

解：（1）∵，

∴2009是正奇数列的第1005个数。

前m-1行共有个数，

前m行共有个数。

∴，解得m=45，

前44行共有个数，故n=15。

（2）①由，得，

∵第n行第1个数为，

∴，

∴，

∴，

，

两式相减，得，

∴。

②，

∴，

即证：，

先证，

1°当n=1时，显然成立；

2°假设n=k时，，

则当n=k+1时，

，

即当n=k+1时，结论成立。

由1°，2°知，成立，

从而

      ，

即 得证。

（Ⅰ） 证明：用数学归纳法证明

1）当n=1时，，所以结论成立；

2）假设n=k（n≥1）时结论成立，即，

则，

所以，

即n=k+1时，结论成立；

由1）2）可知对任意的正整数n，都有；

（Ⅱ）证明：，

因为，

所以，

所以。

（Ⅲ）解：，

，

所以，

又，

所以，

又，

令，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，

由，

所以。

（Ⅰ）解：因为{an}是单调递增数列，所以，

令n=1，，所以。

（Ⅱ）证明：数列{an}不能为等比数列。

用反证法证明：假设数列{an}是公比为q的等比数列，，

因为{an}单调递增，所以q＞1，

因为n∈N*，(n+1)an≥na2n都成立，

所以n∈N*，， ①

因为q＞1，所以，使得当时，，

因为（n∈N*），

所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立。

（Ⅲ）证明：观察：，，…，

猜想：；

用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，成立；

（2）假设当n=k时，成立；

当n=k+1时，

，

所以，

根据（1）（2）可知，对任意n∈N*，都有，即，

由已知得，

所以，

所以当n≥2时，，

因为，

所以对任意n∈N*，，

对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，

因为数列{an}单调递增，所以，，

因为，

所以。

解：（1）在中，

令n=1，可得，即，

，

所以，

所以，即，

，

又，

于是，所以。

（2）由（1）得，

所以，                       ①

             ②

由①-②得，，

所以，

，

于是确定与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小。

 猜想当n=1，2时，2n<2n+1，

当n≥3时，2n>2n+1，

下面用数学归纳法证明：

当n=3时，显然成立；

则当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，猜想也成立。

于是，当n≥3，n∈N*时，2n>2n+1成立，

 综上所述，当n=1，2时，；

                  当n≥3时，。

解：（1）因为

所以

一般地当时，=

即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为；

（2）由（1）知 ①

 ②

①-②得，

所以

要证明当时，成立，只需证明当时，成立

①当n=6时，成立

②假设当时不等式成立，即

则当n=k+1时，

由①②所述，当n≥6时，

即当n≥6时，。

解：(Ⅰ)因为，

即(an+1+an)(2an-an+1)=0，

又an＞0，

所以有2an-an+1=0，

所以，2an=an+1，

所以数列{an}是公比为2的等比数列， 

由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得：a1=2，

故数列{an}的通项公式为。

(Ⅱ)因，所以，，

即数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，

所以，，

则，

又，

，

猜想：，

①当n=1时，，上面不等式显然成立；

②假设当n=k时，不等式成立，

当n=k+1时，

；

综上①②对任意n∈N*均有，

又，

∴，

所以对于任意n∈N*均有。