- 全称量词与存在量词
- 共555题
判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p：∃x∈R，x2+2x+5＞0．
正确答案
（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；
（2）由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．
已知函数f(x)=ln(1+2x)+
（I）证明当a＜0时，∀x∈（0，+∞），总有f（x+1）＞f（x）；
（II）若f（x）存在极值点，求a的取值范围．
正确答案
（I）证明：求导函数可得f′（x）=
∵a＜0时，x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x+1＞x＞0
∴f（x+1）＞f（x）；
（II）令f′（x）=0，可得
∵f（x）存在极值点，
∴
∴a=
x=0时，a=0，f（x）=ln（1+2x），函数不存在极值点；
x≠0时，a=
∵x＞-
1
x
+1)2-1＞0
∴
∴a＞2．
命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是______．
正确答案
“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是
∀x∈Z，x2+2x+m＞0，
故答案为∀x∈Z，x2+2x+m＞0
已知命题p：“∃x0∈R+，x0＞
正确答案
命题p：“∃x0∈R+，x0＞
故答案为：∀ x ∈R+，x ≤
已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则¬p命题是______．
正确答案
命题p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称命题
∴¬p：∃x∈R，cosx＞1，
故答案：∃x∈R，cosx＞1
命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是______．
正确答案
∵对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”
∴对命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是“∀x＜0，有x2≤0”
故答案为：∀x＜0，有x2≤0
命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是______．
正确答案
根据题意我们直接对语句进行否定
∃x∈R，cosx＞1．
判断下列命题的真假．
（1）∀x∈R，|x|＞0；
（2）∀a∈R，函数y=logax是单调函数；
（3）∀x∈R，x2＞-1；
（4）∃
（5）∃x＞0，y＞0，使x2+y2=0．
正确答案
（1）由于0∈R，当x=0时，|x|＞0不成立，因此命题“∀x∈R，|x|＞0”是假命题．
（2）由于1∈R，当a=1时，y=logax无意义，因此命题“∀a∈R，函数y=logax是单调函数”是假命题．
（3）由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＞-1．因此命题“∀x∈R，x2＞-1”是真命题．
（4）由于
（5）由于使x2+y2=0成立的只有x=y=0，而0不是正实数，因而没有正实数x，y，使x2+y2=0，因此命题“∃x＞0，y＞0，使x2+y2=0”是假命题．
写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）正方形都是菱形；
（2）∃x∈R，使4x-3＞x；
（3）∀x∈R，有x+1=2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
正确答案
（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5＞2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．
（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______．
正确答案
根据特称命题的否定为全称命题可知，“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”，
故答案为：任意三角形的三个内角不成等差数列
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