变量间的相关关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

由某种设备的使用年限（年）与所支出的维修费（万元）的数据资料算得如下结果，，，，.

（1）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程；

（2）①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.

（附：在线性回归方程中，），，其中，为样本平均值.)

正确答案

（1）；（2）变量与之间是正相关，万元.

试题分析：本题主要考查线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用已知的数值及公式先计算，再利用计算，从而得到线性回归方程；第二问，①在中，当时，变量x与y之间是正相关，当时，变量x与y之间是负相关，本题是正相关；②使用年限即x的值，而维修费用是y的值，代入回归方程中求函数值y即可.

（1）∵，，∴，

∴ 3分

5分

∴线性回归方程． 6分

（2）①由（1）知，∴变量与之间是正相关． 9分

②由（1）知，当时，（万元），即使用年限为年时，支出的维修费约是万元．

12分

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题型：简答题

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简答题

通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如下表所示：

（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；=bx+a

（2）计算x=-6时的残差；（残差公式）=yi-

（3）现投入资金10万元，求估计获得的利润为多少万元．

正确答案

（1）根据所给的数据得到 ==4，==5

∴==1.7

a=5-1.9×4=-1.8

∴线性回归方程是y=1.7x-1.8

（2）根据上一问做出的线性回归方程，

把x=6（万元）代入线性回归方程得到=1.7×6-1.8=8.4，

∴当x=6时的残差=9-8.4=0.6．

（3）根据（1）中做出的线性回归方程，

把x=10（万元）代入线性回归方程得到y=1.7×10-1.8=15.2（万元）

答：（1）线性回归方程是y=1.7x-1.8，

（2）当x=6时的残差为0.6，

（2）当x=10时，预报y的值是15.2万元．

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题型：简答题

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简答题

某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：

（1）求y对x的回归直线方程；

（2）据此估计广告费用为10销售收入y的值．

正确答案

（1）=(2+4+5+6+8)=5，

=(30+40+50+60+70)=50，（2分）

=22+42+52+62+82=145

xiyi=2×30+4×40+5×50+6×60+8×70=1390，（4分）

∴==7，=-=50-7×5=15，（7分）

∴回归直线方程为=7x+15．（8分）

（2）x=10时，预报y的值为y=10×7+15=85．

答：广告费用为10销售收入y的值大约85．（12分）

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题型：简答题

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简答题

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：

（1）求y关于x的线性回归方程；（已知b=）

（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤．

正确答案

（1）∵=(3+4+5+6)=4.5（吨），

=(2.5+3+4+4.5)=3.5（吨），

xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，

=9+16+25+36=86，

∴b===0.7，

∴a=-0.7×=3.5-0.7×4.5=0.35，

∴y关于x的回归方程为=0.7x+0.35；

（2）由（1）可知技术改造后100吨甲产品的生产能耗约为0.7×100+0.35=70.35（吨），

∵技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨，

∴降低的能耗约为90-70.35=19.65（吨），

即预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了19.65吨标准煤．

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题型：简答题

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简答题

某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：

（1）画出散点图．

（2）求成本y与产量x之间的线性回归方程．（结果保留两位小数）

正确答案

（1）散点图如图

（2）设y与产量x的线性回归方程为=bx+a

==4，==9

b====1.10

a=-b=9-1.10×4=4.60（11分）

∴回归方程为：=1.10x+4.60

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题型：简答题

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简答题

为了对新产品进行合理定价，对这类产品进行了试销试验，用以观察需求量y（单位：千件）对于价格x（单位：千元）的反应，得到数据如下：

（1）求变量y与x之间的相关系数r，并对变量y与x进行相关性检验；

（2）若y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程．

正确答案

（1）由公式计算得r=-0.9931，

由n=8，n-2=6，查表得r0.05=0.632，

所以|r|＞r0.05，

∴需求量与价格两者之间存在线性相关关系．

（2）计算得b=-1.2866，a=169.7724，

所以回归直线方程是

y=-1.2866x+169.7724．

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题型：简答题

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简答题

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为9 0C时的种子发芽数．

正确答案

（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数

据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）

（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），…（3分）

其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的，

事件A包括的基本事件有6种．

∴P（A）=

∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是…（6分）

（2）由数据，求得 =12，=27．…（8分）

由公式，求得b=，a=-b=-3

∴y关于x的线性回归方程为=x-3．…（10分）

由此可以预报当温差为9 0C时的种子发芽数为19或20颗．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）.以下是粤西地区某县搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：

（1）画出数据散点图；

（2）由散点图判断新房屋销售价格y和房屋面积x是否具有线性相关关系？若有，求线性回归方程。（保留四位小数）

（3）根据房屋面积预报销售价格的回归方程，预报房屋面积为时的销售价格。

参考公式: ,

参考数据：，

，

正确答案

（12分）.解1）数据对应的散点图如图所示：3分

（2）从散点图可以看出，样本点呈条状分布，房屋销售面积与销售价格有比较好的线性相关关系， 4分

设所求回归直线方程为，

则=， 6分

，……………………8分

故所求回归直线方程为.………………………………10分

（3）当时，销售价格的估计值为：

（万元）.…………………………12分

略

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题型：简答题

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简答题

在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：

（1）画出散点图；

（2）求出线性回归方程=bx+a；

（3）当温度为70度时，试估算此时硝酸钠的溶解度为多少？

正确答案

（1）建立直角坐标系，根据观测的数据，描点即可得到如右图的散点图；

（2）根据题中的数据，可得

==20，

==65，

xiyi=0×65+10×74+20×87+30×96+40×103=9480，

5=5×20×65=6500，

5

.

x

2=5×202=2000，

xi2=02+102+202+302+402=3000，

∴b==2.98，

∴a=-b=65-2.98×20=5.4，

∴线性回归方程为=2.98x+5.4；

（3）由（2）可知，线性回归方程为=2.98x+5.4，

当x=70时，=2.98×70+5.4=214，

故当温度为70度时，估算此时硝酸钠的溶解度为214．

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题型：填空题

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填空题

某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.

正确答案

13；正

本题考查统计及统计案例的相关知识，考查学生的数学在实际中的应用能力，由统计知识即可求出中位数及相关关系。将数据按由小到大排列后中间的数为13，所以中位数为13，描出散点图从图上直观看出直线的斜率为正，则为正线性相关.

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