双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______．

正确答案

解析

解：设椭圆方程为：（a＞b＞0）

c=1，a2-b2=c2=1

设P的坐标为：﹙m，m+2﹚P在椭圆上

∴=1，

∴﹙a2-1﹚m2+a2﹙m2+4m+4﹚=a2﹙a2-1﹚=﹙a2﹚2-a2

﹙2a2-1﹚m2+4a2m+5a2-﹙a2﹚2=0

△=﹙4a2﹚2-﹙8a2-4﹚﹙5a2-a4﹚≥0

∴2a4-11a2+5≥0

∴﹙2a2-1﹚﹙a2-5﹚≥0

∴a2≤或a2≥5

∵c2=1，a2＞c2

∴a2≥5，长轴最短，即a2=5

b2=a2-1=4

所以：所求椭圆方程为．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线3x2-y2=3，直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A，B两点且倾斜角为45°，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．

正确答案

解：双曲线化为标准方程为，则．…（2分）

直线l的方程为y=x-2，…（4分）

与双曲线方程联立，消去y得：2x2+4x-7=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由，得A，B两点分别位于双曲线的左右两支上．…（6分）

∵，…（8分）

∴．…（12分）

解析

解：双曲线化为标准方程为，则．…（2分）

直线l的方程为y=x-2，…（4分）

与双曲线方程联立，消去y得：2x2+4x-7=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由，得A，B两点分别位于双曲线的左右两支上．…（6分）

∵，…（8分）

∴．…（12分）

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A（0，+∞）

B（1，2]

C

D（1，3]

正确答案

D

解析

解：∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点

∴|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，

∴==，

当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号

∴|PF1|=2a+|PF2|=4a

∵|PF1|-|PF2|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，

∴e∈（1，3]

故选D．

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题型：单选题

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单选题

曲线C：=1表示双曲线，则k的取值范围为（　　）

A1＜k＜4

Bk＞4

Ck＜0

Dk＜1或k＞4

正确答案

D

解析

解：∵曲线C：=1表示双曲线，

∴（4-k）（k-1）＜0，

∴k＜1或k＞4．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|等于（　　）

A3

B6

C1

D2

正确答案

B

解析

解：双曲线=1中a=，b=2，c=3，

∴以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=9，

∴|+|=|2|=6，

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0），若以C的焦点F为圆心a为半径的圆，截双曲线的渐近线所得弦长为b，则此双曲线的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，

∴F到双曲线的渐近线的距离d==b，

∵以C的焦点F为圆心a为半径的圆，截双曲线的渐近线所得弦长为b，

∴，

∴e=．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

已知A、B依次是双曲线的左、右焦点，C是双曲线E右支上的一点，则在△ABC中，=______．

正确答案

解析

解：根据正弦定理：在△ABC中，有=；

又由题意A、B分别是双曲线 =1的左、右焦点，则|AB|=2c=4，

且△ABC的顶点C在双曲线的右支上，又可得|CB|-|CA|=-2a=-2；

故 ===-．

故答案为：-．

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题型：简答题

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简答题

已知△F1PF2的顶点P在双曲线=1﹙a＞0，b＞0﹚上，F1，F2是该双曲线的焦点，∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积．

正确答案

解：由题意，|PF1-PF2|=2a，

由余弦定理可得：F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ=（PF1-PF2）2+（1-2cosθ）PF1•PF2

=4a2+（1-2cosθ）PF1•PF2，

∴PF1•PF2=

∴S△F1PF2=PF1•PF2sinθ=．

解析

解：由题意，|PF1-PF2|=2a，

由余弦定理可得：F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ=（PF1-PF2）2+（1-2cosθ）PF1•PF2

=4a2+（1-2cosθ）PF1•PF2，

∴PF1•PF2=

∴S△F1PF2=PF1•PF2sinθ=．

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题型：单选题

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单选题

已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）

A3

B

C2

D

正确答案

C

解析

解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），

一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．

设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，

∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，

又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，

∴△MF1F2为直角三角形，

∴由勾股定理得4c2=c2+4b2

∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，

∴c=2a，∴e=2．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线E1：-=1（a＞0，b＞0）与抛物线E2：y2=2px的焦点都在直线l0：2x-y-4=0上，双曲线E1的渐近线方程为xy=0．

（1）求双曲线E1与抛物线E2的方程；

（2）若直线l1经过抛物线E2的焦点F交抛物线E1于A，B两点，=3，求直线l1的方程．

正确答案

解：（1）令y=0，可得x=2，∴焦点为（2，0），

∴=2，c=2，

∴抛物线E2的方程为y2=8x，

∵双曲线E1的渐近线方程为xy=0，

∴=，

∵a2+b2=4，

∴a=，b=1，

∴求双曲线E1的方程是-y2=1；

（2）设AB所在直线方程为y=k（x-2），

联立抛物线方程，得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

解方程得：x1=，x2=．

再由=3，得x1+1=3（x2+1），即x1=3x2+2，

∴=3•+2，

解得：k=±．

∴直线L的方程为y=（x-2）或y=-（x-2）．

解析

解：（1）令y=0，可得x=2，∴焦点为（2，0），

∴=2，c=2，

∴抛物线E2的方程为y2=8x，

∵双曲线E1的渐近线方程为xy=0，

∴=，

∵a2+b2=4，

∴a=，b=1，

∴求双曲线E1的方程是-y2=1；

（2）设AB所在直线方程为y=k（x-2），

联立抛物线方程，得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

解方程得：x1=，x2=．

再由=3，得x1+1=3（x2+1），即x1=3x2+2，

∴=3•+2，

解得：k=±．

∴直线L的方程为y=（x-2）或y=-（x-2）．

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