- 双曲线
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过双曲线x2-y2=4的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是______.
正确答案
22
解析
解:∵|PF2|-|PF1|=4,|QF2|-|QF1|=4
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7
∴|PF2|+|QF2|-7=8,
∴|PF2|+|QF2|=15,
∴△F1PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=15+7=22,
故答案为:22.
以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1,e2,则当它们的实、虚轴都在变化时,e12+e22的最小值是______.
正确答案
4
解析
解:∵e12=,e22=
,∴e12+e22=
+
=2+
+
≥2+2=4
(当且仅当a=b时等号成立).
∴当它们的实、虚轴都在变化时,e12+e22的最小值是4.
故答案为:4.
已知双曲线,则其渐近线方程是 ______,离心率e=______.
正确答案
y=±2x
解析
解:由得其渐近线方程为y=±2x,
a=2,c=,∴
.
故答案为:y=±2x;.
双曲线-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆M:(x-8)2+y2=25截得的弦长为6,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
解:双曲线-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx+ay=0,
∵渐近线被圆M:(x-8)2+y2=25截得的弦长为6,
∴=4,
∴a2=3b2,
∴c2=4b2,
∴e==
.
故选:D.
若双曲线C的离心率为2,其中一个焦点F(2,0)
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l斜率为2且过点F,求直线l被双曲线C截得的弦长.
正确答案
解:∵离心率等于2,一个焦点的坐标为(2,0),
∴=2,c=2且焦点在x轴上,
∴a=1
∵c2=a2+b2
∴b2=3
∴双曲线C的标准方程为;
(2)直线方程为y=2x-4代入,整理可得x2-16x+19=0,
∴直线l被双曲线C截得的弦长为•
=30.
解析
解:∵离心率等于2,一个焦点的坐标为(2,0),
∴=2,c=2且焦点在x轴上,
∴a=1
∵c2=a2+b2
∴b2=3
∴双曲线C的标准方程为;
(2)直线方程为y=2x-4代入,整理可得x2-16x+19=0,
∴直线l被双曲线C截得的弦长为•
=30.
如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ______.
正确答案
解析
解:根据题意,设AB=2c,则AE=BD=c,BE=AD=c
∴在以A,B为焦点,且过D,E的椭圆中,离心率=,
以A,B为焦点,且过D,E的双曲线中,离心率==
+1,
椭圆与双曲线的离心率的倒数和为:
.
故答案为:.
已知F1,F2是双曲线C:-
=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|•|PF2|=8a2,且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率是( )
正确答案
解析
解:不妨设点P在双曲线右支,F1,F2分别为左,右焦点,
有|PF1|-|PF2|=2a,
由,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
由|F1F2|=2c>2a知,△PF1F2的最小内角为∠PF1F2=30°,
从而△PF1F2为直角三角形,∠F1F2P=90°,
则有2c=2a,
此时双曲线离心率e==
,
故选C.
若双曲线-
=1(b>0)的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9,则双曲线的离心率是( )
正确答案
解析
解:双曲线-
=1(b>0)的a=4,c=
,
双曲线的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9,
即有c+a=9,即+4=9,
解得,b=3,c=5.
即有离心率为e==
.
故选C.
已知双曲线C的对称轴是坐标轴,M(1,-2)是C上的一点,且直线x-2y-5=0和C的渐近线之一平行,则双曲线C的方程为______.
正确答案
解析
解:由直线x-2y-5=0和C的渐近线之一平行,
则双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,
可设双曲线的方程为x2-4y2=m(m≠0),
代入点(1,-2)可得m=1-16=-15,
则双曲线方程为.
故答案为:.
双曲线=1上一点P到它的一个焦点的距离为7,则点P到另一个焦点的距离为______.
正确答案
13
解析
解:双曲线═1的a=3,b=4,c=
=5,
设左右焦点为F1,F2.
则有双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=6,
可设|PF1|=7,则有|PF2|=1或13,
若P在右支上,则有|PF2|≥c-a=2,
若P在左支上,则|PF2|≥c+a=6,
故|PF2|=1舍去;
由于|PF1|=7<c+a=8,
则有P在左支上,则|PF2|=13.
故答案为:13.
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