双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知等轴双曲线C：x2-y2=a2 （a＞0）上一定点P（x0，y0）及曲线C上两动点AB满足（-）•（-）=0，（其中O为原点）

（1）求证：（+）•（+）=0；

（2）求|AB|的最小值．

正确答案

解：（1）因P（x0，y0）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x02-y02=a2．①

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2 ③

=（x1-x0，y1-y0），=（x2-x0，y2-y0），由于（-）•（-）=0，∴（x1-x0）（x2-x0）=-（y1-y0）（y2-y0） ④

且点A，B分别在双曲线的两支．

②-①得（x1-x0）（x1+x0）=（y1-y0）（y1+y0） ⑤

同理（x2-x0）（x2+x0）=（y2-y0）（y2+y0） ⑥

⑤×⑥÷④得（x1+x0）（x2+x0）=-（y1+y0）（y2+y0）．

∴（+）•（+）=[（x0+x1）（x0+x2）+（y0+y1）（y0+y2）]=0．

（2）为简单起见，记x0=m，y0=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦

代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，

解得y1=n，y2=⑧

由弦长公式得|PA|=，|PB|=，

设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=≥0

当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是，即2|OP|=2

解析

解：（1）因P（x0，y0）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x02-y02=a2．①

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2 ③

=（x1-x0，y1-y0），=（x2-x0，y2-y0），由于（-）•（-）=0，∴（x1-x0）（x2-x0）=-（y1-y0）（y2-y0） ④

且点A，B分别在双曲线的两支．

②-①得（x1-x0）（x1+x0）=（y1-y0）（y1+y0） ⑤

同理（x2-x0）（x2+x0）=（y2-y0）（y2+y0） ⑥

⑤×⑥÷④得（x1+x0）（x2+x0）=-（y1+y0）（y2+y0）．

∴（+）•（+）=[（x0+x1）（x0+x2）+（y0+y1）（y0+y2）]=0．

（2）为简单起见，记x0=m，y0=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦

代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，

解得y1=n，y2=⑧

由弦长公式得|PA|=，|PB|=，

设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=≥0

当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是，即2|OP|=2

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

（1）若双曲线经过，求双曲线方程；

（2）若双曲线的焦距是，求双曲线方程．

正确答案

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

解析

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2、A、B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，

以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，

将直线y=x代入圆的方程，可得，

x==a（负的舍去），y=b，

即有M（a，b），又A（-a，0），

由于∠MAB=30°，则直线AM的斜率为k=，

又k=，则3b2=4a2=3（c2-a2），

即有3c2=7a2，

则离心率e=．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

椭圆C：+=1（a＞b＞0）和双曲线D：-=1（A＞0，B＞0）有相同的焦点F1、F2，椭圆C和双曲线D在第一象限内的交点为P，且PF2垂直于x轴．设椭圆的离心率为e1，双曲线D的离心率为e2，则e1e2等于（　　）

A1

B

C

D不确定

正确答案

A

解析

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=m，PF2=n．

∴m+n=2a，m-n=2A，m2=n2+4c2，

∴aA=c2，

∴e1e2==1．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

（2014•兴安盟三模）已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：如图所示，

由题意可得，

又2∠PF1F2=∠PF2F1，∴．

∴|PF2|=c，．

由双曲线的定义可得：|PF1|-|PF2|=2a，

∴，

解得=．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A（1，+∞）

B（1，2）

C（1，1+）

D（2，1+）

正确答案

B

解析

解：根据双曲线的对称性，得

△ABE中，|AE|=|BE|，

∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角

由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|

∵|AF|==，|EF|=a+c

∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0

两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2

∵双曲线的离心率e＞1

∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）

故选：B

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•雅安期末）已知双曲线的方程为-x2=1，点A的坐标为（0，-），B是圆（x-）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为______．

正确答案

+3

解析

解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=4．

∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，

又B是圆（x-）2+y2=1上的点，

则圆的圆心为C（，0），半径为1，

故|BD|≥|CD|-1=-1=-1，

从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．

故答案为：+3．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是______．

正确答案

（1，）

解析

解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，

要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，

则需过右顶点A，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，

也只需其斜率大于渐近线y=x的斜率．

∴＞，∴b＜a，

即b2＜a2，

即有c2＜a2+a2，

即为c＜a，

即有1＜e＜．

故答案为：（1，）．

1

题型：填空题

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填空题

（2015•四川模拟）双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线l的平行线交双曲线C于A，若以A为圆心，2a为半径的圆与l相切，则双曲线C的离心率e的值为______．

正确答案

解析

解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），

渐近线l的方程为y=x，

一条渐近线l的平行线为y=（x-c），

代入双曲线的方程，可得A（，），

由直线和圆相切的条件可得，

=2a，

化简可得，b=2a，

则e===．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线（a＞）的渐近线方程是

∴由双曲线（a＞）的两条渐近线的夹角为可知，

∴a2=6，c2=8，∴双曲线的离心率为，故选D．

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