双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线=1的两焦点为F1、F2．

（1）若点M在双曲线上，且=0，求M点到x轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程．

正确答案

解：（1）已知双曲线=1的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．

∵=0，

∴MF1⊥MF2，

∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=20上，

与=1联立，消去x，可得

∴得|y|=，

∴点M到x轴的距离为，

（2）设双曲线C的方程为，（16+λ＞4-λ＞0）

代入（3，2），可得，

∴λ=-4，

∴双曲线C的方程为．

解析

解：（1）已知双曲线=1的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．

∵=0，

∴MF1⊥MF2，

∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=20上，

与=1联立，消去x，可得

∴得|y|=，

∴点M到x轴的距离为，

（2）设双曲线C的方程为，（16+λ＞4-λ＞0）

代入（3，2），可得，

∴λ=-4，

∴双曲线C的方程为．

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题型：填空题

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填空题

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

（1，3]

解析

解：∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，

而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，

∴有c-a≤2a，

∴1＜e≤3，

故答案为（1，3]．

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线C上存在点P满足|PF1|：|PF2|=2：1且∠F1PF2=90°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

Ax±2y=0

B2x±y=0

C5x±4y=0

D4x±5y=0

正确答案

B

解析

解：根据题意，得；

∴|PF1|=4a，|PF2|=2a；

又∠F1PF2=90°，

∴+=，

即（4a）2+（2a）2=（2c）2=4a2+4b2，

∴b2=4a2，

∴；

∴双曲线C的渐近线方程是2x±y=0．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；

（2）求与椭圆有共同的焦点并且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程．

正确答案

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点

∴c2=a2-b2=4，，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为； …（6分）

（2）椭圆的焦点坐标为（0，±5），

双曲线的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为

解析

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点

∴c2=a2-b2=4，，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为； …（6分）

（2）椭圆的焦点坐标为（0，±5），

双曲线的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为

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题型：单选题

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单选题

设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为（　　）

A|OP|2＜|OQ|•|OR|

B|OP|2＞|OQ|•|OR|

C|OP|2=|OQ|•|OR|

D不确定

正确答案

C

解析

解：取特殊点P（c，），

则直线OP的方程为y=x，

又直线AQ的方程为y=（x-a），

直线AR的方程为y=-（x-a），

解得Q，R的坐标为（，），（，），

易得|OP|2=|OQ|•|OR|．

故选C

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题型：简答题

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简答题

求下列曲线的标准方程：

（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点；

（2）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线，求双曲线C的方程．

（3）焦点在直线3x-4y-12=0的抛物线的标准方程．

正确答案

解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为=1，焦点（±2，0）

设椭圆的方程为=1，

代入，可得=1，

∴m=4，

∴椭圆的方程为

（2）椭圆+=1的焦点为（±2，0），∴c=2，

∵直线y=x为一条渐近线，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的方程为；

（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，

综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．

解析

解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为=1，焦点（±2，0）

设椭圆的方程为=1，

代入，可得=1，

∴m=4，

∴椭圆的方程为

（2）椭圆+=1的焦点为（±2，0），∴c=2，

∵直线y=x为一条渐近线，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的方程为；

（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，

综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线（a＞0，b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A（1，2）

B（2，+∞）

C（1，5）

D（5，+∞）

正确答案

B

解析

解：∵

则3e2-5e-2＞0，

∴e＞2或（舍去），

∴e∈（2，+∞），

故选B．

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题型：简答题

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简答题

求曲线的方程：

（1）求中心在原点，左焦点为F（-，0），且右顶点为D（2，0）的椭圆方程；

（2）求中心在原点，一个顶点坐标为（3，0），焦距为10的双曲线方程．

正确答案

解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得：c=-，a=2，

所以解得：b=1，

所以椭圆方程为：+y2=1．

（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），

所以双曲线的焦点在x轴上，

所以设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

由已知得：a=3，c=5，

解得：b=4，

所以双曲线方程为：-=1．

解析

解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得：c=-，a=2，

所以解得：b=1，

所以椭圆方程为：+y2=1．

（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），

所以双曲线的焦点在x轴上，

所以设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

由已知得：a=3，c=5，

解得：b=4，

所以双曲线方程为：-=1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程是______．

正确答案

y=±2x

解析

解：∵离心率等于，∴=，

∴

∴b=2a．而双曲线的焦点在x轴上，

所以双曲线的渐近线方程为y=±x，即y=±2x．

故答案为 y=±2x．

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题型：单选题

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单选题

若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为（　　）

Ax2-y2=1

By2-x2=1

C

D

正确答案

B

解析

解：∵椭圆的短轴端点坐标为（0，±1），

∴双曲线的顶点为（0，±1），可设方程为y2-

∵双曲线的离心率等于椭圆的离心率的倒数

∴由椭圆的离心率为，得双曲线的离心率e==

解之得b=1，从而双曲线的方程为y2-x2=1

故选：B

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