双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

设双曲线-=1，（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（　　）

A2

B3

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），

∴AF的斜率为，

∵=，

∴B为线段FA的中点，

∴OB⊥AF，

∴•（-）=-1，

∴e2-e-2=0，

∵e＞1，

∴e=2．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

（2014秋•潍坊校级月考）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率是______．

正确答案

解析

解：由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，

又|PF1|=3|PF2|，

得|PF2|=a，|PF1|=3a；

在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴4c2=9a2+a2，即2c2=5a2，

则e==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于______．

正确答案

解析

解：双曲线-y2=1的顶点坐标（2，0），其渐近线方程为y=±x，

所以所求的距离为=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1，其右焦点为F，P其上一点，点M满足||=1，•=0，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵||=1，∴点M是以点F（5，0）为圆心，1为半径的单位圆；

不妨设P为双曲线右支上的任一点，

∵•=0，∴⊥，

∴△PMF为直角三角形，且∠FMP=90°，||为该直角三角形的斜边长；

∵P为双曲线-=1上的点，

在Rt△FPM中，要使直角边||最小，由于||=1，

只需||最小，

∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，||最小，此时P（3，0）．

∴||==，如图所示；

∴的最小值为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=1相交，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A（1，3）

B（，+∞）

C（1，）

D（3，+∞）

正确答案

C

解析

解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）2+y2=1相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1

∴3b2＜a2，

∴c2=a2+b2＜a2，

∴e=＜

∵e＞1

∴1＜e＜．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1（a＞0）．

（1）若a=，求l与C相交所得的弦长；

（2）若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．

正确答案

解：（1）a=，l与C联立，消去y，可得3x2+2x-2=0，

∴l与C相交所得的弦长为=；

（2）由直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1，消去y，并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∴，解得0＜a＜，且a≠1，

而双曲线C的离心率e==，从而e＞，且e≠，

故双曲线C的离心率e的取值范围为（，）∪（）．

解析

解：（1）a=，l与C联立，消去y，可得3x2+2x-2=0，

∴l与C相交所得的弦长为=；

（2）由直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1，消去y，并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∴，解得0＜a＜，且a≠1，

而双曲线C的离心率e==，从而e＞，且e≠，

故双曲线C的离心率e的取值范围为（，）∪（）．

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题型：单选题

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单选题

已知F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

Ae＞

B1＜e＜

Ce＞

D1＜e＜

正确答案

A

解析

解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，

由对称性可得，MF1=F1F2=2c，

则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

设直线PF1：y=（x+c），

代入双曲线方程，可得，（3b2-a2）x2-2ca2x-a2c2-3a2b2=0，

则方程有两个异号实数根，

则有3b2-a2＞0，即有3b2=3c2-3a2＞a2，即c＞a，

则有e=＞．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的离心率为．

（1）求m的值，并写出双曲线的渐近线方程；

（2）求以双曲线的中心为顶点，双曲线的右顶点为焦点的抛物线方程．

正确答案

解：（1）依题意可知a=2，b=，c==

∴==，求得m=5

∴双曲线的渐近线方程y=±=±

（2）双曲线的a=2

∴右顶点为（2，0）

∴抛物线方程中=2，p=4

∴抛物线方程为y2=8x

解析

解：（1）依题意可知a=2，b=，c==

∴==，求得m=5

∴双曲线的渐近线方程y=±=±

（2）双曲线的a=2

∴右顶点为（2，0）

∴抛物线方程中=2，p=4

∴抛物线方程为y2=8x

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题型：单选题

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单选题

双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（　　）

A

B

Cy=±2x

D

正确答案

A

解析

解：，∴，∴渐近线方程是，

故选A．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C3

D

正确答案

D

解析

解：设F1（-c，0），P（x0，y0），

依题意，直线PF1的方程为：y=（x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），

∵M为线段PF1的中点，

∴=0，m=．

∴x0=c，

∴y0=（x0+c）=c，m=c．

∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°，

∴|MF1|=2|OM|=2m=c；

又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，

∴OM为直角三角形PF1F2的中位线，

∴|PF1|=c，|PF2|=c，

∴2a=|PF1|-|PF2|=c，

∴其离心率e==．

故选D．

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