双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知F1、F2为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠F1PF2=45°，求此双曲线的渐近线的方程．

正确答案

解：如图，

由得，；

∵∠F1PF2=45°；

∴|F1F2|=|PF2|；

∴；

∴4（a2+b2）a2=b4；

∴4a4+4a2b2-b4=0；

∴；

；

∴此双曲线的渐近线方程为y=．

解析

解：如图，

由得，；

∵∠F1PF2=45°；

∴|F1F2|=|PF2|；

∴；

∴4（a2+b2）a2=b4；

∴4a4+4a2b2-b4=0；

∴；

；

∴此双曲线的渐近线方程为y=．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率e=______．

正确答案

解析

解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=x，

故可得=，即a2=4b2，又a2+b2=c2，

故，=，解得e==

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的弦AB．

（1）求|AB|；

（2）求△F2AB的周长（F2为右焦点）．

正确答案

解：（1）双曲线的左焦点为F1（-2，0），直线AB的斜率k=tan=，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线AB：y=（x+2），

代入3x2-y2-3=0整理得8x2-4x-13=0

∴x1+x2=，x1x2=-，

∴|x1-x2|=，

∴|AB|=|x1-x2|=3；

（2）|F2A|=2x1-1，|F2B|=1-2x2

∴|F2A|+|F2B|=2（x1-x2）=3，

∴△F2AB的周长为3+3．

解析

解：（1）双曲线的左焦点为F1（-2，0），直线AB的斜率k=tan=，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线AB：y=（x+2），

代入3x2-y2-3=0整理得8x2-4x-13=0

∴x1+x2=，x1x2=-，

∴|x1-x2|=，

∴|AB|=|x1-x2|=3；

（2）|F2A|=2x1-1，|F2B|=1-2x2

∴|F2A|+|F2B|=2（x1-x2）=3，

∴△F2AB的周长为3+3．

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题型：单选题

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单选题

已经点P（-3，1）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的左准线上，过点P且方向向量为=（-2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意知，设光线与直线y=-2的交点为（x0，-2），

∵方向向量为=（-2，-5），∴，解得．

过点P（-3，1）且方向向量为=（-2，-5）的光线所在直线的方程为，它与x轴的交点坐标是（-），

∴双曲线的左焦点是F（-5，0）．由c=5．

由，解得a=，

∴．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x-y=0，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

或

解析

解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，

设它的标准方程为（a＞0，b＞0）

∵双曲线的一条渐近线方程是2x-y=0，

∴双曲线渐近线方程是，即y=±2x

∴⇒b=2a

∵c2=a2+b2

∴==a

所以双曲线的离心率为e==

（2）当双曲线焦点在y轴上时，

设它的标准方程为（a＞0，b＞0）

采用类似（1）的方法，可得⇒

∴==

所以双曲线的离心率为e==

综上所述，该双曲线的离心率为或

故答案为：或

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题型：填空题

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填空题

我们把离心率为e=的双曲线（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．给出以下几个说法：

①等轴双曲线不是黄金双曲线；

②双曲线x2-=1是黄金双曲线；

③若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；

④如图，若∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确的命题序号是______．

正确答案

①②③④

解析

解：①等轴双曲线的离心率是，故不是黄金双曲线，即①正确；

②由双曲线x2-=1，可得离心率e==，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；

③∵b2=ac，∴c2-a2-ac=0，化为e2-e-1=0，又e＞1，解得e=，因此该双曲线是黄金双曲线，即③正确；

④∵∠F1B1A2=90°，∴，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2-ac-a2=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；

故答案为：①②③④．

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题型：简答题

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简答题

若点P（m，n）与点P′（m′，n′）满足m′=n，n′=m，则称P′为P的“反变换对称点”，如点（1，2）的“反变换对称点”为点（2，1），已知三点M（3，4），F1（-5，0），F2（5，0）

（1）求以F1、F2为焦点，且过点M的双曲线C1的标准方程；

（2）设M′、F1′和F2′分别为M、F1和F2的“反变换对称点”，求以F1′、F2′为焦点，且过点M′的椭圆C2的标准方程．

正确答案

解：（1）由题意，c=5，2a=||MF1|-|MF2||=6，

∴a=3，b=4，

∴双曲线C1的标准方程为；

（2）M′（4，3），F1′（0，-5），F2′（0，5）

∴c′=5，2a′=||M′F1′|+|M′F2′||=10，

∴a′=5，

∴b′=5，

∴椭圆C2的标准方程为．

解析

解：（1）由题意，c=5，2a=||MF1|-|MF2||=6，

∴a=3，b=4，

∴双曲线C1的标准方程为；

（2）M′（4，3），F1′（0，-5），F2′（0，5）

∴c′=5，2a′=||M′F1′|+|M′F2′||=10，

∴a′=5，

∴b′=5，

∴椭圆C2的标准方程为．

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题型：简答题

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简答题

在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1米，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4厘米．据此推算，到2050年底该地区将有10千米2水面面积．请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？（提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为s=πr2）

正确答案

解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，

据题意可设曲线方程为①，

可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米2，

即当y=2时，πx2=107，代入①得，．

故双曲线方程为②，

照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．

把y=4代入②得，πx2=50×106．

所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2．

解析

解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，

据题意可设曲线方程为①，

可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米2，

即当y=2时，πx2=107，代入①得，．

故双曲线方程为②，

照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．

把y=4代入②得，πx2=50×106．

所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2．

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题型：填空题

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填空题

已知P是双曲线的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：

①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；

②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为；

③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；

其中正确命题的序号是______．

正确答案

①③

解析

解：双曲线的渐近线为y=±x，准线方程为x=，代入渐近线方程得y=±=

∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×=故①正确．

∵|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+所以e的最大值是1+②不正确．

设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，

因为是内切圆，所以有OA⊥PF1，OB⊥PF2，OC⊥F1F2，且PA=PB，AF1=F1C，BF2=CF2．因为OC⊥F1F2，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．

由双曲线的性质可知

∵|PF1|-|PF2|=2a

∵|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，

∴|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|CF1|-|CF2|=2a，

又∵|CF1|+|CF2|=2c，联立可得CF2=c-a，∵F2（c，0），

∴C（a，0）．

∴O点横坐标就为a，故③正确．

故答案为①③

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题型：填空题

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填空题

（2015春•海淀区期末）若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是______．

正确答案

解析

解：∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，

∴＞1，

∴e=＞，

即e∈．

故答案为：．

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