双曲线_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线C与双曲线=1有相同的渐近线，且过点A（，-3），则双曲线C的标准方程是______．

正确答案

解析

解：由于双曲线C与双曲线有=1相同的渐近线，

则可设C的方程是=λ（λ≠0），

又过点A（，-3），则λ=-8，

即C的方程是．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）

A4+2

B+1

C-1

D

正确答案

B

解析

解：已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，

则：设|F1F2|=2c

进一步解得：|MF1|=c，

利用双曲线的定义关系式：|MF2|-|MF1|=2a

两边平方解得：

故选：B

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，

∴b=a，

∴c==a，

∴e==．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

B

解析

解：设双曲线的焦点为（c，0），实轴长为2a，

即有圆心为（c，0），半径为2a，

设渐近线方程为y=x，

由于圆与双曲线的渐近线相切，

则=2a，

化简得，b=2a，则c2=a2+b2=5a2，

则离心率为=．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于______．

正确答案

6

解析

解：∵设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，∴a=1，b=4，

则||PF1|-|PF2||=2，

∵双曲线双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，不妨令|PF2|=4，

则||PF1|-4|=2，

∴|PF1|=2或|PF1|=6．

∵c=，∴|PF1|＞2，∴|PF1|=2（舍去），

∴点P到另一个焦点的距离等于6．

故答案为：6．（填“6或2”给（3分），其他给0分）

1

题型：简答题

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简答题

设命题p：函数f（x）=lg（ax2-x+a）的定义域为R，命题q：双曲线：-=1的离心率e∈（1，2）

（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；

（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题．求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意ax2-x+a＞0对任意x∈R恒成立，

当a=0时，不符题意，舍去；

当a≠0时，则

解得：a＞2．

∴实数a的取值范围是a＞2；

（2）由双曲线：-=1的离心率e∈（1，2），

∴e2=．

∵离心率e∈（1，2），

∴1＜＜4．

∴0＜a＜15．

∴a的取值范围为（0，15）．

p真q假时，a≥15，p假p真时，则0＜a≤2，

综上，0＜a≤2或a≥15．

解析

解：（1）由题意ax2-x+a＞0对任意x∈R恒成立，

当a=0时，不符题意，舍去；

当a≠0时，则

解得：a＞2．

∴实数a的取值范围是a＞2；

（2）由双曲线：-=1的离心率e∈（1，2），

∴e2=．

∵离心率e∈（1，2），

∴1＜＜4．

∴0＜a＜15．

∴a的取值范围为（0，15）．

p真q假时，a≥15，p假p真时，则0＜a≤2，

综上，0＜a≤2或a≥15．

1

题型：单选题

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单选题

过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．

∵线段AB的长度恰等于焦距，

∴，

∴c2-a2=ac，

∴e2-e-1=0，

∵e＞1，

∴e=．

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的两条渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线的渐近线方程为

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）

A

B-y2=1

Cx2-=1

D-y2=1

正确答案

A

解析

解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．正确；

B，曲线方程是：-y2=1，其渐近线方程是-y2=0，整理得y=±x．错误；

C，曲线方程是：x2-=1，其渐近线方程是x2-=0，整理得y=±x．错误；

D，曲线方程是：-y2=1，其渐近线方程是-y2=0，整理得y=±x．错误；

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

+1

解析

解：∵抛物线y2=4x的焦点（1，0）和双曲线的焦点相同，

∴c=1

∵A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，

设A点的纵坐标大于0，

∴|AF|=2，

∴A（1，2），

∵点A在双曲线上，

∴-=1，

∵c=1，b2=c2-a2

∴a=-1

∴e==1+，

故答案为：1+．

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