双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，-2）．

（1）求双曲线的方程；

（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．

正确答案

解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，

∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），

又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），

过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，

联立，可得

所以x2-18x+33=0，

由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，

则弦长|AB|==2=16．

解析

解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，

∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），

又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），

过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，

联立，可得

所以x2-18x+33=0，

由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，

则弦长|AB|==2=16．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，可设点M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．

∴，且．

两式相减得．

再由斜率公式得：k1k2=．

∵|k1|+|k2|

根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知

∴

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且α-2β=1．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线-y2=13，（a＞0）交于两点M，N，且OM⊥ON，求该双曲线的方程．

正确答案

解：（1）设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由=α+β，得

（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），

∴，即点C的轨迹方程为x+y=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，得（1-a2）x2+2a2x-14a2=0．

，

y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2

=1-=．

∵OM⊥ON，

∴==0．

即27a2-1=0，

∴．

∴双曲线的方程27x2-y2=13．

解析

解：（1）设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由=α+β，得

（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），

∴，即点C的轨迹方程为x+y=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，得（1-a2）x2+2a2x-14a2=0．

，

y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2

=1-=．

∵OM⊥ON，

∴==0．

即27a2-1=0，

∴．

∴双曲线的方程27x2-y2=13．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线x2-=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）在双曲线x2-=1中，a=1，b=，c=，…（2分）

∴a，c′=a=1，b′2=2 …（3分）

所以，椭圆C的方程是 …（4分）

（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．

不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0…（5分）

由消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0 …（6分）

设A（x1，y1）则，…（8分）

∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴kPA+kPB=0对一切k恒成立，…（9分）

即=0对一切k恒成立 …（10分）

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立…（11分）

∴2×+2m-（m+1）×=0对一切k恒成立，…（12分）

即=0，4m-12=0，

∴m=3，…（13分）

∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分）

解析

解：（Ⅰ）在双曲线x2-=1中，a=1，b=，c=，…（2分）

∴a，c′=a=1，b′2=2 …（3分）

所以，椭圆C的方程是 …（4分）

（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．

不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0…（5分）

由消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0 …（6分）

设A（x1，y1）则，…（8分）

∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴kPA+kPB=0对一切k恒成立，…（9分）

即=0对一切k恒成立 …（10分）

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立…（11分）

∴2×+2m-（m+1）×=0对一切k恒成立，…（12分）

即=0，4m-12=0，

∴m=3，…（13分）

∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分）

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题型：单选题

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单选题

（2016•马鞍山一模）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则其离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由已知条件得：

；

∴；

即；

∴椭圆C的离心率为．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•徐汇区校级期中）等轴双曲线=1（b＞0）的焦距为______．

正确答案

解析

解：由双曲线的标准方程知道b=，c=，

∴该双曲线的焦距．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

设a＞1，椭圆+y2=1与双曲线-y2=1的四个交点构成一个正方形，它们的离心率分别为e1，e2，求+．

正确答案

解：由对称性知，设正方形的一个顶点为（m，m），（m＞0），

则代入椭圆和双曲线方程，即有

+m2=1，-m2=1．

解得a2=，

即有e1=，e2=，

则+=+=1-+

=1-（-1）+2+=4．

解析

解：由对称性知，设正方形的一个顶点为（m，m），（m＞0），

则代入椭圆和双曲线方程，即有

+m2=1，-m2=1．

解得a2=，

即有e1=，e2=，

则+=+=1-+

=1-（-1）+2+=4．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵椭圆的焦点为（±，0）

∴双曲线的顶点为（±，0），离心率为，

∴a=，，

∴c=2，∴b==

∴该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知P（x，y）是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且的取值范围为（-，），则该双曲线方程是（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

C

解析

解：∵双曲线-=1（a＞b＞0）的渐近线为y=±

∴动点P（x，y）与原点连线的斜率为k=且k∈（-，）

∵由已知的取值范围为（-，），∴=…①

又∵双曲线的焦距为2c=10，得c=5

∴a2+b2=c2=25…②

联解①②，可得a=4，b=3，所以双曲线方程为-=1

故选：C

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是______．

正确答案

解析

解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=-12，

则由题意知，点F（-12，0）是双曲线的左焦点，

所以a2+b2=c2=144，

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以=，

解得a2=36，b2=108，

所以双曲线的方程为．

故答案为：．

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