热门试卷

解．（1）∵双曲线-x2=1的上支可表示为函数y=，且y′=×=

设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=（x-x0）

即y-y0=（x-x0），即y0y-3x0x=3，

与渐近线方程y=x联立，解得A(，)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±x0≠0）；

与渐近线y=-x联立，解得B(，)，

∴•=+=+=2（定值）

（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由=知=+，由（1）有

即

再由P（x0，y0）在双曲线-x2=1 （y＞0）上

∴-=1，

∴-=1

故所求轨迹为-=1(y＞0)．

由条件知F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）

（I）设M（x，y），则=(x+2，y)，=(x1+2，y1)，=(x2+2，y2)，=(2，0)，

由=++，得，即，

于是AB的中点坐标为(，)，

当AB不与x轴垂直时，==，即y1-y2=(x1-x2)，

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，

两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x-4）=（y1-y2）y，

将y1-y2=(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）2-y2=4，

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，

所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4．

（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使•为常数，

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），

代入x2-y2=2有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=，x1x2=，

于是•=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2

=+m2

=2(1-2m)++m2．

因为•是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时•=-1，

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，)，(2，-)，

此时•=(1，)•(1，-)=-1，

故在x轴上存在定点C（1，0），使•为常数．

（1）由，得P（2，1），

双曲线-y2=1的渐近线方程是x-2y=0和x+2y=0，

点P（2，1）到两条渐近线x-2y=0和x+2y=0的距离分别是

d1=和d2=，

∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积

d1d2==．

（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），

即kx-y+1-2k=0，

由，消去y，并整理，得（1-2k2）x2+（8k2-4k）x+8k-8k2-4=0，

∵直线PA与双曲线-y2=1有两个交点，

∴△=（8k2-4k）2-4（1-2k2）（8k-8k2-4）＞0，

即k2-2k+1＞0，

∴k≠1．

故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．

（3）∵P（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，

设PA斜率是m，则PB斜率是-m

则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，

分别与双曲线方程联立，得

-(mx1-2m+1)2=1，

（1-2m2）x12+（8m2-4m）x1+8m-8m2-4=0，

∵2是方程的一个根，

∴x1=-2，

同理，x2=-2，

∴x1-x2=，

∵y1=m(-4)+1，

y2=-m(-4)+1，

∴y1-y2=，

∴kAB===-1．

即直线AB的斜率为定值-1．