双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知点P（2，-3）是双曲线-=1(a＞0，b＞0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是______．

正确答案

由题意知c=2．设该双曲线方程是-，

把点P（2，-3）代入，得-=1，

解得a2=1或a2=-16（舍）

∴该双曲线方程为x2-=1．

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题型：填空题

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填空题

与双曲线-=1有共同的渐近线，且经过点A(-3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是______．

正确答案

设双曲线-=1有共同的渐近线的双曲线方程为-=λ

∵双曲线经过点A(-3，2)，

∴λ=-=-

∴与双曲线-=1有共同的渐近线的双曲线方程为-=1

其右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为4x-3y=0

∴焦点到一条渐近线的距离是=2

故答案为 2

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题型：简答题

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简答题

（文）已知右焦点为F的双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率e=，其右准线与经过第一象限的渐近线交于点P，且P的纵坐标为．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）求直线PF被抛物线y2=8x截得的线段长．

正确答案

（I）由题意可知，双曲线-=1得右准线方程为x=（1分）

经过第一象限的双曲线的渐近线方程y=x（1分）

联立可得点P（，）（1分）

∵点P的纵坐标为y=

∴=

∵e==

∴a=，b=1（2分）

∴所求的双曲线的标准方程为-y2=1（1分）

（II）由（I）知P（，），双曲线的焦点的坐标F（2，0）

而F（2，0）也是抛物线y2=8x的焦点，设PF所在的直线方程为y=-(x-2)

与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（1分）

联立可得，3x2-20x+12=0（1分）

∴x1+x2=（1分）

∴AB=x1+x2=p=（1分）

∴直线PF被抛物线截得的线段长（1分）

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为______．

正确答案

由题意知设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0）且a2=2，

又过点（2，）得x2-y2=2，则双曲线的焦点坐标为（±2，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为

（1）求其渐近线方程；

（2）过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P1、P2两点，且=2，S△OP1P2=9，求双曲线方程．

正确答案

（1）∵双曲线的离心率为，∴=，∴=2

∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…（3分）

（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y）

∵=2，

∴x=，y=

即P(， )

由（1）可知，设所求双曲线方程为-=1

∵点P在双曲线，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）

又∵S△OP1P2=9，∴|OP1|•|OP2|•sin∠P1OP2=9②

由①②得a2=4…（7分）

∴所求双曲线方程为-=1…（8分）

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题型：简答题

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简答题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）满足如下条件：（1）ab=；（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程．

正确答案

设直线l：y=（x-c），令x=0，得P（0，-c），

设λ==2，Q（x，y），则有，

又Q（c，-c）在双曲线上，

∴b2（c）2-a2（-c）2=a2b2，

∵a2+b2=c2，∴(1+)-(+1)=1，

解得=3，又由ab=，可得，

∴所求双曲线方程为x2-=1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的一个焦点F1（0，5），且过点（0，4），则该双曲线的标准方程是______．

正确答案

由题得：双曲线的焦点在Y轴上，且c=5，a=4；

∴b2=c2-a2=9．

∴该双曲线的标准方程是：-=1．

故答案为 -=1．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为______．

正确答案

由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，

∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，

AC-BC=2a，即：2c-2c=2a，

∴=，即：双曲线的离心率为．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线方程为______．

正确答案

抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x=-2

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F

∴双曲线的右焦点坐标为F（2，0），

∴双曲线的左焦点坐标为F′（-2，0）

∵|PF|=5

∴点P的横坐标为3

代入抛物线y2=8x，y=±2

不妨设P（3，2）

∴根据双曲线的定义，|PF'|-|PF|=2a 得出- =2a

∴a=1，

∵c=2

∴b=

∴双曲线方程为x2-=1

故答案为：x2-=1

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；

（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。

正确答案

解：（1）双曲线C1：左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所

以，解得

所以所求三角形的面积为S=。

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，

由，得x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）

所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（-1-b2）+2b2+b2=b2-2=0

故PO⊥OQ。

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，

则O到直线MN的距离为

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=，

由得，

所以

同理，

设O到直线OM的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以==3，即d=

综上，O到直线MN的距离是定值。

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