热门试卷

解：（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n），设P（x，y）

由=λ，得

，

故P点的坐标为（，），

将P点的坐标代入x2﹣=1，化简得，mn=．

（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=．

又|OA|=m，|OB|=，

所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，

记S（λ）=，λ∈[，3]）．

则S（λ）在λ∈[，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．

所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值．

所以△AOB面积的取值范围是[2，]．

（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），S（x0，y0），T（x0，-y0）

由A1、H、S三点共线，得：(x0+)y=y0(x+)…③

由A2、H、T三点共线，得：(x0-)y=-y0(x-)…④

联立③、④，解得x0=，y0=．

∵S（x0，y0）在双曲线上，

∴-()2=1．

∴轨迹E的方程为：+y2=1(x≠0，y≠0)．

（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，

M（，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得（x1+x2）+2（y1+y2）•=0，

则1+4mk=0，得：k=-．

此时，直线PQ斜率为k1=4m，PQ的直线方程为：y-m=4m(x-)．

代入椭圆方程消去y，整理得（32m2+1）x2-16m2x+2m2-2=0．

又设P（x3，y3），Q（x4，y4），

则：x3+x4=，x3x4=．

∴•=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-（x3+x4）+1+（4mx3-m）（4mx4-m）

=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)-(4m2+1)+m2+1

=

令t=1+32m2，

∵点M(，m)在椭圆内，∴+m2＜1，

又∵m≠0，

∴0＜m2＜，∴1＜t＜29，

则•=--∈(-1，-)．

∴，•的取值范围为(-1，-)

（1）把交点M(，)代入抛物线C1：y2=2px得=2p×，解得p=2，∴抛物线C1的方程是y2=4x．

（2）∵抛物线y2=4x的准线方程是x=-1，

∴双曲线C2：-=1的左焦点是（-1，0）．

设双曲线C2的方程为-=1，

把交点M(，)代入，得-=1，整理得9a4-37a2+4=0．

解得a2=，或a2=4（舍去）．

∴b2=1-=．

∴双曲线C2的方程是-=1．

根据题意，双曲线的方程为x2-4y2=1；

则其渐近线方程为x2-4y2=0；

化简可得x±2y=0；

故x2-4y2=1的渐近线为：x±2y=0．

由已知，得-=1

∴实轴长为，虚轴长为4，

焦点坐标为（±，0）

顶点坐标为（±，0）

离心率为

渐进方程为y=±x

由题意k＞0，c=，

渐近线方程l为y=x，

准线方程为x=±，于是A（，），

直线FA的方程为y=，

于是B（-，）．

由B是AC中点，则xC=2xB-xA=-，

yC=2yB-yA=．

将xC、yC代入方程kx2-y2=1，得

k2c4-10kc2+25=0．

解得k（1+）=5，则k=4．

所以双曲线方程为：4x2-y2=1．

设M（x0，y0）是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，

即|MF2|=|MN|，再由双曲线定义可知  =e∴=e，

由焦点半径公式得 =e∴x0=，

而  x0≥a  ∴≥a，即  e2-2e-1≤0，解得1-≤e≤+1，

但 e＞1 ∴1＜e≤+1，即离心率e的取值范围是（1，+1）．

（1）由条件可知c=，|MF2|=1，

在直角△F1F2M中|MF1|===3，

根据双曲线的定义得2a=|MF1|-|MF2|=3-1=2，a=1，从而b=1，

所以双曲线方程为x2-y2=1．

（2）由题意知M(，1)，F1(-，0)，B(0，-1)，直线MF1的方程是x-4y+2=0（10分）

点B到直线MF1的距离d==，

又|MF1|=3，所以S△F1BM=|MF1|d=．

（1）依题意，双曲线的两焦点F1（-，0），F2（，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

∵P（x1，y1）为双曲线C上的任意一点，

∴x12-4y12=4，

∴它们的乘积是•==．

∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．