热门试卷

设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知

==e，即|PF2|=e|PF1|①

再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②

由①②，解得|PF1|=，|PF2|=，

∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，

∴+≥2c．③

利用e=，由③得e2-2e-1≤0，

解得1-≤e≤1+．

∵e＞1，

∴1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．

∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．

（1）双曲线的左焦点为F1（-2，0），直线AB的斜率k=tan=，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线AB：y=（x+2），

代入3x2-y2-3=0整理得8x2-4x-13=0

∴x1+x2=，x1x2=-，

∴|x1-x2|=，

∴|AB|=|x1-x2|=3；

（2）|F2A|=2x1-1，|F2B|=1-2x2

∴|F2A|+|F2B|=2（x1-x2）=3，

∴△F2AB的周长为3+3．

由题意可设所求双曲线方程为：-=1(a＞0，b＞0)，

设直线 y=（x-4）与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），

则（1）-（2）得：-=0

即=，

又由线段AB中点的横坐标为-可得，其纵坐标为(--4)=-，

∴x1+x2=2×(-)=-，y1+y2=2×(-)=-．

又∵=，

∴=，

∴b2=a2，c2=a2+b2=a2，c=a

又∵双曲线两准线间的距离为，

∴2×=，

∴2×=

∴a=3，a2=9，c2=a2=16．

∴b2=c2-a2=7．

∴所求双曲线方程为：-=1．

椭圆3x2+13y2=39可化为+=1，其焦点坐标为（±，0），

∴设双曲线方程为-=1，

∵直线y=±为渐近线，

∴=，

∴=，

∴a2=8，

故双曲线方程为-=1．

设M（x1，y1），左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得

|MF1|=ex1+a，|MF2|=ex1-a，

由已知2（ex1+a）=3（ex1-a），

把e=，a=4代入，得x1=16，y1=±3．

∴点M的坐标为（16，±3）．

双曲线准线方程为x=±=±．

∴M（16，±3）到准线的距离为12或19．

（1）在椭圆+=1中，

a2=25，b2=9，c2=16，

离心率e=，

∵双曲线与椭圆的离心率之和等于，

∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0），

双曲线的离心率e′=-=2．

（2）∵椭圆焦点在x轴上，

∴其焦点坐标为（±4，0），

∵双曲线与椭圆+=1的焦点相同，

∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0），

由题意设双曲线方程为-=1(m＞0，n＞0)，

由（1）知，c=4，e′=2，

∴e′==2，

解得m=2，∴n2=16-4=12，

∴双曲线方程为-=1．

∵F1、F2是双曲线C：-=1的左、右焦点，

∴F1（-4，0），F2（4，0）；

又P是C右支上一动点，

∴由双曲线的定义知，|PF1|-|PF2|=6，

∴|PF1|=|PF2|+6，又Q的坐标是（1，4），

∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+|PQ|+6≥|QF2|+6．

∵|QF2|==5．

∴|QF2|+6=11．

∴|PF1|+|PQ|≥11．

故|PF1|+|PQ|的最小值为11．

故答案为：11．

（Ⅰ）：设双曲线的中心为（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0．

∵实轴长为4，故a=2．

∴双曲线的右顶点为（x+2，y）．

由题意知点（x+2，y）在抛物线y2=x-1上，

∴y2=（x+2）-1=x+1．

∴双曲线中心的轨迹方程为y2=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）

（Ⅱ）：设双曲线方程为-=1(a＞0，b＞0)．

∵a=2，故c=．

由x-x0=，得右准线为x=x0+．

而右准线方程为x=0，

∴x0+=0．

∴x0=-=-．

由（Ⅰ）知=x0+1，

故=-+1≥0．

化简得b2≥12，故b≥2．

∴虚半轴长的取值范围是[2，+∞)．…（14分）

设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．