双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

由题，不妨令点C在右支上，则有

AC=2a+x，BC=x，AB=2c；

∵△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，

∴x+2c=2（2a+x）⇒x=2c-4a；

AC=2a+x=2c-2a；

∵AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos∠ACB；

∴（2c）2=（2c-4a）2+（2c-2a）2-2（2c-4a）（2c-2a）（-）；

∴2c2-9ac+7a2=0⇒2e2-9e+7=0；

∴e=，e=1（舍）．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

设双曲线-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（，），则n最大取值为______．

正确答案

由题意，得a2=4，b2=1，c==，可得双曲线的右准线为：x=，即x=

设Pk坐标为（xk，yk），Pk到右准线的距离为dk（k=1，2，3，…，n），

根据双曲线的第二定义，得=e=，

∴|PkF|=dk=（xk-）=xk-2

∵|PkF|的长度为ak，∴ak=xk-2

∵数列{an}成等差数列，且公差d∈（，），

∴=∈（，），

∵2≤xk≤2，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数

∴0＜xn-x1≤2-2，得n取最大值时d==

∴＜＜，解之得5-4＜n＜26-5

因为26-5≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14

故答案为：14

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题型：填空题

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填空题

下列说法中：

①函数在（1，+∞）是减函数；

②在平面上，到定点（2，-1）的距离与到直线3x-4y-10=0距离相等的点的轨迹是抛物线；

③若正数a，b满足，则ab的最小值为4；

④双曲线的一个焦点到渐近线的距离是5。

其中正确命题的序号是（）。

正确答案

①③

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题型：简答题

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简答题

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2=，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

正确答案

设双曲线方程为：-=1（a＞0，b＞0），

F1（-c，0），F2（c，0），P（x0，y0）．

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos

=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|．

即4c2=4a2+|PF1|•|PF2|．

又∵S△PF1F2=2．

∴|PF1|•|PF2|•sin=2．

∴|PF1|•|PF2|=8．∴4c2=4a2+8，即b2=2．

又∵e==2，∴a2=．

∴双曲线的方程为：-=1．

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题型：填空题

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填空题

设F1，F2是双曲线-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=60°，△F1PF2的面积______．

正确答案

由题意-=1，可得 F2（5，0），F1 （-5，0），由余弦定理可得

100=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=36+PF1•PF2，

∴PF1•PF2=64．

S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=×64×=16．

故答案为：16．

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题型：简答题

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简答题

已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。如果且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S。

正确答案

解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设

由题意建立方程组

消去y，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

又∵

依题意得

整理后得

∴或

但

∴

故直线AB的方程为

设

由已知

得

∴，

又，

∴点

将点C的坐标代入曲线E的方程，得

得

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴

C点的坐标为

C到AB的距离为

∴的面积。

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：，

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）已知点M的坐标为（0，1），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记，求λ的取值范围；

（3）已知点D，E，M的坐标分别为（-2，-1），（2，-1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数。

正确答案

解：（1）所求渐近线方程为；

（2）设P的坐标为，则Q的坐标为，

，

∴λ的取值范围是(-∞，-1]。

（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线l的斜率，

由计算可得，当；

当；

∴s表示为直线l的斜率k的函数是。

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题型：填空题

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填空题

下列说法中： ①函数在（0，+∞）是减函数；

②在平面上，到定点（2，-1）的距离与到定直线3x-4y-10=0距离相等的点的轨迹是抛物线；

③设函数，则是奇函数；

④双曲线的一个焦点到渐近线的距离是5；

其中正确命题的序号是（）。

正确答案

①③

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题型：填空题

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填空题

如图所示，直线x=2与双曲线Γ：的渐近线交于E1、E2两点．记，任取双曲线Γ上的点P，若，则a、b满足的一个等式是（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）。

正确答案

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