热门试卷

解：(Ⅰ)由题设知，l的方程为：y=x+2，

化入C的方程，并化简，得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0，

设B（x1，y1）、D（x2，y2），

则，①

由M(1，3)为BD的中点知，

故，即b2=3a2，②

故，所以C的离心率。

(Ⅱ)由①、②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，

A(a，0)，F(2a，0)，x1+x2=2，x1·x2=，

故不妨设x1≤-a，x2≥a，

，

，

|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8，

又|BF|·|FD|=17，

故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），

故，

连结MA，则由A(1，0)，M(1，3)知|MA|=3，

从而MA=MB=MD，

且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．

解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是，

∴，

作双曲线的右准线交PM于H，则，

又，

。

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，c=2a，，

双曲线为，

设P，则，

，

所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，

代入到双曲线方程得：，

又|AB|=12，由得：

，解得a=1，则，

所以为所求。

（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：-=1（a＞0，b＞0），

所以A1（-a，0），A2（a，0），

所以kPA1•kPA2=•==1，

解得a2=3．…2分

将a2=3，P（2，1）代入双曲线方程，得-=1，解得b2=3．…2分

所以双曲线C的标准方程为-=1．…2分

（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：-=1（a＞0，b＞0），

所以A1（0，-a），A2（0，a），

所以kPA1•kPA2=•==1，

解得a2=-3（舍去）．…2分

综上，所求双曲线C的标准方程为-=1．

（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为-=1．

由题意，得解得a=8，c=10．

∴b2=c2-a2=100-64=36．

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1．

（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1

由题意，得解得a=3，b=2．

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1．

同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为-=1．

（1）依题意得，双曲线的中心在原点，焦点为F1（5，0），F2（-5，0），

∴c=5，

又双曲线过点（3，0），得点（3，0）是双曲线实轴的一个顶点，

∴a=3，

∴b==4，

∵双曲线焦点在焦点在x轴上，

∴双曲线的标准方程为：-=1

（2）由（1）知a=3，c=5，

∴双曲线的离心率为：e==，

准线方程为：x=±=±．