双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（　　）

A

B2

C

D

正确答案

A

解析

解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，

∴ON∥PF1，又ON的斜率为，

∴tan∠PF1F2=，

在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，

根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①

在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②

由①②消去t，得，

又c2=a2+b2，

∴a2=（b-a）2，即b=2a，

∴双曲线的离心率是=，

故选A．

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题型：单选题

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单选题

点P在双曲线C：上，F1、F2是双曲线的焦点，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支上，且|PF1|=m，|PF2|=n，则，

即n2+4n-4=0，n=2，

由双曲线的第二定义可得，∴n=x0-2，

∴x0-2=2-2，

x0=

y0=．

故选：B

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题型：填空题

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填空题

已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．

正确答案

解析

解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，

所以圆C的圆心的横坐标为4．

故圆心坐标为（4，±）．

∴它到中心（0，0）的距离为d==．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（5，4），则其焦距为（　　）

A6

B6

C5

D5

正确答案

A

解析

解：由离心率大于1，且e===，

则该圆锥曲线为等轴双曲线，

∴设双曲线方程为x2-y2=m（m≠0），

代入点（5，4）得m=25-16=9．

∴双曲线方程为=1，焦距为2c=6

故选A．

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题型：简答题

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简答题

在双曲线=1的右支上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右准线距离的4倍．

正确答案

解：双曲线=1的a=2，b=2，

则c==4，e==2，右准线方程为x=，即有x=1，

设P（m，n）到右准线距离为d，

根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，

∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的4倍，

∴P到左焦点的距离为4d，

∴4d-ed=2a=4，

∴d===2，即m-1=2，解得m=3，

则n2=12×（-1）=15，即有n=±．

则所求P的坐标为（3，）．

解析

解：双曲线=1的a=2，b=2，

则c==4，e==2，右准线方程为x=，即有x=1，

设P（m，n）到右准线距离为d，

根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，

∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的4倍，

∴P到左焦点的距离为4d，

∴4d-ed=2a=4，

∴d===2，即m-1=2，解得m=3，

则n2=12×（-1）=15，即有n=±．

则所求P的坐标为（3，）．

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题型：填空题

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填空题

已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y=x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意可得点F2（c，0），设它关于直线y=x的对称点M（h，k），

由求得，故点M（，），即M（，）．

再把点M的坐标代入双曲线-=1，化简可得（2a2-c2）2=a2（4a2+c2），求得c2=3a2，可得 =，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的右焦点为F（3，0），且以直线x=1为右准线．求双曲线方程．

正确答案

解：由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为．

解析

解：由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．

正确答案

或

解析

解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴===．

当焦点在y轴上时，=，∴===，

故答案为：或．

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题型：简答题

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简答题

双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，直线x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．

（1）求双曲线S的方程；

（2）设经过点（-2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

正确答案

解：（1）e==，又a2+b2=c2，

设右焦点为（c，0），由题意可得d==，

解得c=，b=1，a=，

可得双曲线的方程为-y2=1；

（2）设直线AB：y=k（x+2），

当k=0时，可得A（-，0），B（，0），

即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形；

当k≠0时，代入双曲线的方程可得

（1-2k2）x2-8k2x-8k2-2=0，

判别式△=64k4+4（1-2k2）（8k2+2）=8+16k2＞0恒成立，

x1+x2=，则AB的中点M坐标为（，），

由题意可得PM⊥AB，可得kPM=-，

即有=-，解得k=．

综上可得k=0，或k=．

解析

解：（1）e==，又a2+b2=c2，

设右焦点为（c，0），由题意可得d==，

解得c=，b=1，a=，

可得双曲线的方程为-y2=1；

（2）设直线AB：y=k（x+2），

当k=0时，可得A（-，0），B（，0），

即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形；

当k≠0时，代入双曲线的方程可得

（1-2k2）x2-8k2x-8k2-2=0，

判别式△=64k4+4（1-2k2）（8k2+2）=8+16k2＞0恒成立，

x1+x2=，则AB的中点M坐标为（，），

由题意可得PM⊥AB，可得kPM=-，

即有=-，解得k=．

综上可得k=0，或k=．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于______．

正确答案

解析

解：双曲线的渐近线方程为，函数y=x3+2，求导函数可得y=3x2，

设切点坐标为（m，n），则

∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，

∴，∴m=1，=3，∴b=3a，

∴c2=a2+b2=10a2，∴

∴e==

故答案为：

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