双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设双曲线C：与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，

（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值。

正确答案

解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，

消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0， ①

所以，解得，

双曲线的离心率，

∵，

∴，

即离心率e的取值范围是。

（Ⅱ）设，

，

∴，由此得，

由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，

所以，

消去x2，得，

由a＞0，所以。

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

与x2-4y2=1有相同的渐近线，且过M（4，）的双曲线方程为______．

正确答案

由题意可设要求的双曲线方程为x2-4y2=λ≠0，

把点M（4，）代入可得42-4×()2=λ，解得λ=4．

∴x2-4y2=4，即-y2=1．

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题型：填空题

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填空题

双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的点，当△F1PF2的面积为2时，丨-丨的值为______．

正确答案

∵双曲线的方程为 -y2=1，

∴两焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0），（ 2，0），

∴|F1F2|=4，

∵△F1PF2面积为2，设点P的坐标为（m，n），

则 |F1F2||n|=2，

∴|n|=1，不妨取n=1，

将点P（m，1）的坐标代入双曲线的方程，得：m=±，不妨取m=，

则P（，1），

∴=（-2-，-1），=（2-，-1），

∴丨-丨=|（-4，0）|=4，

故答案为：4．

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题型：填空题

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填空题

过双曲线-=1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是______．

正确答案

由双曲线 -=1的标准方程可得 a=4，由双曲线的定义可得：

AF2-AF1=2a，BF2 -BF1=2a，

∴AF2+BF2 -AB=4a=16，即AF2+BF2 -6=16，AF2+BF2 =22．

△ABF2（F2为右焦点）的周长是：

（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=22+6=28．

故答案为：28．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，一条准线的方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线上的一点满足，求的值；

（3）若直线与双曲线交于不同的两点，且在以为圆心的圆上，求实数的取值范围。

正确答案

解：(1)由条件有

∴

.故双曲线的方程为:.

(2)设.

∵

∴

又

∴

即.

又由余弦定理有:.

即

∴.

故.

(3)由则由条件有:是 ①

设中点,则

又在为圆心的圆上.

∴.

化简得: ②

将②代入①得:

解得.

又由

∴

综上:或.

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题型：简答题

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简答题

直线l:y=kx+1 与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同两点A 、B ．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1,

整理得（k2 -2）x2 +2kx+2 =0， ①

依题意，直线与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同两点 A、B，

∴

解得k的取值范围是

（2）设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、(x2，y2)，

则由①式得

假设存在实数k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F（c，0），

则由FA⊥FB得（x1-c）（x2-c）+y1y2=0，

即（x1-c）（x2-c）+（kx1+1）（kx2+1）=0，

整理得（k2+1）x1x2+(k-c)（x1+x2）+c2+1=0， ③

把②式及代入③式化简得

解得或

又不符合，所以舍去．

可知可使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F

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题型：填空题

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填空题

给出下列三个命题：

①若直线l过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；

②双曲线C：的离心率为；

③若，则这两圆恰有2条公切线；

④若直线l1：a2x-y+6=0与直线l2：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，则a=-1；

其中正确命题的序号是（）（把你认为正确命题的序号都填上）。

正确答案

②③

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题型：简答题

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简答题

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列，其中O是坐标原点。记Sn=a1+a2+…+an，

（1）若C的方程为-y2=1，n=3，点P1(3，0) 及S3=162，求点P3的坐标；(只需写出一个)

（2）若C的方程为y2=2px(p≠0)，点P1(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2成等差数列；

（3）若C的方程为(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值。

正确答案

解：(1)a1=2=9，

由S3=(a1+a3)=162，得a3=3=99，

由，得，

∴点P3的坐标可以为(3，3)。

(2)对每个自然数k，1≤k≤n，

由题意2=(k-1)d，及，得，

即(xk+p)2=p2+(k-1)d，

∴(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2是首项为p2，公差为d的等差数列；

(3)原点O到二次曲线C：(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a，

∵a1=2=a2，

∴d＜0，且an=2=a2+(n-1)d≥b2，

∴≤d＜0，

∵n≥3，＞0，

∴Sn=na2+d在[，0)上递增，

故Sn的最小值为。

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