热门试卷

解：（1）以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，

设．

由，得，

．

．

．

（2）设为平面的法向量，，由

得

又，设与的夹角为，

则．

到平面的距离

略

,

（I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

所以C1D//平面ABB1A1

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz

在中，由已知可得所以

因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1。

又B1D1⊥A1C1，所以B1D1⊥平面A1C1D，

所以平面A1­C1D的一个法向量为n=（1，1，0）

设与n所成的角为，则

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为

（III）解：平面A1C1A的法向量为则

所以，令可得

设二面角D—A1C1—A的大小为a，

则

所以二面角的余弦值为

A到C1在长方体表面上的最短距离为.

分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．通过展开表面，将空间问题转化为平面问题．

如图1展开：

图1

；

如图2展开：

图2

；

如图3展开：

图3

.

由此A到C1在长方体表面上的最短距离为.

知识点：简单几何体和球