- 用牛顿运动定律解决问题（一）
- 共673题
开学初，小源到建设银行营业网点兑换了此前在网上预约的中国高铁纪念币。这枚纪念币由中国人民银行发行，面额10元，每人限兑20枚，且需要提前预约。小源打算与班上同学分享自己的喜悦。他可以向大家这样介绍
①纪念币面额和实际购买力都是由中国人民银行规定的
②纪念币可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能
③纪念币发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间
④纪念币不能与同面额人民币等值流通，必须在规定时间地点使用
正确答案
解析
①错误，国家无权规定纪念币的实际购买力；④错误，纪念币与同面额人民币等值流通，在任何时间地点都可使用；由中国人民银行发行的纪念币属于法定货币，可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能，因其发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间，故②③正确。
知识点
质量为m＝1.0 kg的小滑块（可视为质点）放在质量为M＝3.0 kg的长木板的右端，木板上表面光滑，木板与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.2，木板长L＝1.0 m。开始时两者都处于静止状态，现对木板施加水平向右的恒力F＝12 N，如图所示，经一段时间后撤去F。为使小滑块不掉下木板，试求：水平恒力F作用的最长时间。（g取10 m/s2）
正确答案
解：撤力前后木板先加速后减速，设加速过程的位移为x1，加速度为a1，加速运动的时间为t1；减速过程的位移为x2，加速度为a2，减速运动的时间为t2由牛顿第二定律得撤力前：F－μ(m＋M)g＝Ma1，解得a1＝
撤力后：μ(m＋M)g＝Ma2，解得a2＝
x1＝
为使小滑块不从木板上掉下，应满足x1＋x2≤L
又a1t1＝a2t2
由以上各式可解得t1≤1 s
即作用的最长时间为1 s
一卡车拖挂一相同质量的车厢，在水平直道上以v0=12m/s的速度匀速行驶，其所受阻力可视为与车重成正比，与速度无关。某时刻，车厢脱落，并以大小为a=2m/s2的加速度减速滑行。在车厢脱落t=3s后，司机才发觉并紧急刹车，刹车时阻力为正常行驶时的3倍。假设刹车前牵引力不变，求卡车和车厢都停下后两者之间的距离。
正确答案
解：设卡车的质量为M，车所受阻力与车重之比为μ；刹车前卡车牵引力的大小为F，卡车刹车前后加速度的大小分别为a1和a2。重力加速度大小为g。由牛顿第二定律有
设车厢脱落后，t=3s内卡车行驶的路程为s1，末速度为v1，根据运动学公式有
式中，s2是卡车在刹车后减速行驶的路程。设车厢脱落后滑行的路程为s，有
卡车和车厢都停下来后相距
由①至⑨式得
带入题给数据得
如图所示，水平传送带AB长为L=21m，以6m/s的速度顺时针匀速转动，台面与传送带平滑连接于B点，半圆形光滑轨道半径R=1.25m，与水平台面相切于C点，BC长S=5.5m。一质量为m=1kg的小物块（可视为质点），从A点无初速释放，物块与传送带及台面间的动摩擦因数均为μ=0.1。
（1）求物块从A点一直向右运动到C点所用的时间；
（2）分析物块能否越过与圆心O等高的P点。若能，物块此后做斜抛还是平抛运动；若不能，则最终将停在离C点多远处？
正确答案
解：（1）开始物块在传送带上做匀加速运动，由牛顿第二定律：
设经时间t1达到与带同速，此时物块对地面前进x，
得t1=6s，x=18m，因x=18m<21m，
故后段在传送带上匀速用时t2 ，
从B至C过程减速运动用时t3，到达C点速度为vc，由动能定理
而
解得：
故从A点一直向右运动到C点的时间为
（2）设物块不能越过P点，由机械能守恒定律：
解得h=1.25m，因h=R，故物块恰好到达P点而不能越过P点 。
物体将沿圆周返回C点，在BC上减速后冲上传送带再返回，返回B时动能同冲上B时一样，物块从第一次返回C至停止运动的过程，动能减少在BC之间的往复运动上。
对该过程由功能关系：
故物体停在距C点1.5m处。
如图所示，传送带做水平匀速运动，质量m=l.0kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，随传送带运动到A点后被水平抛出。小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑，已知圆弧对应圆心角θ=1060，圆弧半径R=1.0m，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.80 m，小物块离开C点后恰能无碰撞地沿固定斜面向上运动，0.8s后经过D点，物块与斜面间的滑动摩擦因数为μ=1/3（取sin530=0.8，cos530= 0.6）。试求：
（1）小物块离开A点时的水平速度大小v1；
（2）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小FN；（3）斜面上CD间的距离SCD；
（4）已知小物块与传送带间的动摩擦因数为μ2=0.3，传送带的速度为5.0m/s。若传送带通过电动机传动，则由于放上小物块而使得电动机多输出的能量是多少？
正确答案
解：（1）对小物块，由A到B有
在B点
所以v1=3m/s
（2）对小物块，由B到O有：
其中：
在O点：
所以：FN=43N
（3）物块沿斜面上滑：mgsin530十μ1mgcos530=ma1，a1=10m/s2由机械能守恒知：vC=vB=5m/s
小物块由C上升到最高点历时
则小物块由斜面最高点回到D点历时t2=0.8s-0.5s=0.3s
物块沿斜面下滑：mgsin530-μ1mgcos530=ma2， a2=6m/s2
故
即SCD=0. 98m。
（4）小物块在传送带上加速过程：μ2mg=ma3物块由静止开始到3m/s所需时间
此过程中产生的焦耳热为
所以多输出的能量为
如图所示，水平轨道PAB与圆弧轨道BC相切于B点，其中PA段光滑，AB段粗糙，动摩擦因数μ=0.1，AB段长度L=2m，BC段光滑，半径R=lm，轻质弹簧劲度系数k=200N/m，左端固定于P点，右端处于自由状态时位于A点。现用力推质量m=2kg的小滑块，使其缓慢压缩弹簧，当推力做功W=25J时撤去推力。已知弹簧弹性势能表达式，其中，k为弹篝的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度取g=10m/s2。
（1）求推力撤去瞬间，滑块的加速度a；
（2）求滑块第一次到达圆弧轨道最低点B时对B点的压力FN；
（3）判断滑块能否越过C点，如果能，求出滑块到达C点的速度vc和滑块离开C 点再次回到C点所用时间t，如果不能，求出滑块能达到的最大高度h。
正确答案
解：（1）推力做功全部转化为弹簧的弹性势能，则有W=Ek①
则有
得x=0.5m②
由牛顿运动定律得
（2）设滑块到达B点时的速度为vB，由能量关系有
得
对滑块，由牛顿定律得
由牛顿第三定律可知，滑块对B点的压力为62N⑦
（3）设滑块能够到达C点，且具有速度vC，由功能关系得
代人数据解得vC=1m/s⑨
故滑块能够越过C点从滑块离开C点到再次回到C点过程中，
物体做匀变速运动，以向下为正方向，有vC=-vC十gt⑩
质量为60 kg的消防队员从一根固定的竖直金属杆上由静止滑下，经2.5 s落地。消防队员受到的竖直向上的摩擦力变化情况如图所示，取g＝10 m/s2。在消防队员下滑的过程中：
（1）他向下加速与减速的加速度大小分别多大？
（2）他落地时的速度多大？
（3）他克服摩擦力做的功是多少？
正确答案
解：（1）设该队员先在t1＝1 s的时间内以加速度a1匀加速下滑，然后在t2＝1.5 s的时间内以加速度a2匀减速下滑
在第1 s内，由牛顿第二定律，得：mg－f1＝ma1
得
得
（2）他在1 s末时的速度为vm＝a1t1＝4×1＝4 m/s
落地时的速度vt＝vm－a2t2＝4－2×1.5＝1 m/s
（3）该队员在第1 s内下滑的高度h1＝
在后1.5 s内下滑的高度h1＝
他克服摩擦力做的功为
（或根据动能定理：mg(h1＋h2)－Wf＝mvt2/2，代入数据解得：Wf＝3420 J）
一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示。设运动过程中不计空气阻力，g取10m／s2。结合图象，试求：
（1）运动员的质量；
（2）运动过程中，运动员的最大加速度；
（3）运动员离开蹦床上升的最大高度。
正确答案
（1）50kg
（2）40m/s2
（3）3.2m
杂技中的“顶竿”由两个演员共同表演，站在地面上的演员肩部顶住一根长竹竿，另一演员爬至竹竿顶端完成各种动作后下滑，若竿上演员自竿顶由静止开始下滑，滑到竿底时速度正好为零。已知竹竿底部与下面顶竿人肩部之间有一传感器，传感器显示竿上演员自竿顶滑下过程中顶竿人肩部的受力情况如图所示，竿上演员质量为m1=40 kg，长竹竿质量m2=10 kg，g=10 m/s2。
（1）求竿上的人下滑过程中的最大速度v1；
（2）请估测竹竿的长度h。
正确答案
解：（1）在演员下滑的前4s，顶竿人肩部对竿的支持力为F1=460 N，竿和上面的演员总重力为500 N，人匀加速下滑，加速度为a1，
演员由静止下滑，下滑4s后达到最大速度v1，有v1=a1t1=4 m/s
在演员下滑的4s到6s，顶竿人肩部对竿的支持力为F2=580 N，竿和上面的演员总重力为500 N，人匀减速下滑，加速度为a2，
（2）在演员下滑的前4s，可看成匀加速下滑，下滑距离为h1，
在演员下滑的4s到6s，可看成匀减速下滑，下滑距离为h2，
竹竿的长度h=h1+h2=12 m
水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查，右图为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持1m/s的恒定速度运行，一质量为m=4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，该行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离l=2m，g取10m/s2。求：
（1）行李被从A运送到B所用时间。
（2）电动机运送该行李需增加的电能为多少？
（3）如果提高传送带的运动速率，行李就能够较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。
正确答案
解：（1）行李轻放在传送带上，开始是静止的，行李受滑动摩擦力而向右运动，
此时行李的加速度为a，由牛顿第二定律得f=μmg=ma，a=μg=1.0m/s2
设行李从速度为零运动至速度为1m/s所用时间为t1，所通过位移为s1，
则：v=at1，t1=
s1=
设行李速度达到1m/s后与皮带保持相对静止，一起运行，所用时间为t2，
则：t2=
设行李被从A运送到B共用时间为t，则t=t1+t2=2.5s。
（2）电动机增加的电能就是物体增加的动能和系统所增加的内能之和。
E=Ek+Q
E=
ΔL=vt1-
故E=
（3）行李从A匀加速运动到B时，传送时间最短，则l=
代入数据得t=2s ，此时传送带对应的运行速率为v′，v′≥atmin=2m/s。
故传送带对应的最小运行速率为2m/s。
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