热门试卷

解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．

由于AB=πr=π，AD=π，所以这实际上是一个正方形．

所以曲线Γ的长度为BD=π．

（2）当θ=时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，

故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．

连接AP、BP，OP．

由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．

作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．

在Rt△OB1P中，，

所以．

于是：．

所以，点C1到平面APB的距离为．

（3）由于二面角D-AB-B1为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B1是否为即可．

过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．

由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．

于是∠PQB1即为二面角P-AB-B1的平面角．

在Rt△PB1Q中，．

若，则需B1P=B1Q，即sinθ=θ．

令f（x）=sinx-x（0＜x＜π），则f′（x）=cosx-1＜0，

故f（x）在（0，π）单调递减．

所以f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x在（0，π）上恒成立．

故不存在θ∈（0，π），使sinθ=θ．

也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D-AB-B1为．

解：（1）设AA1=h，因为底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，

所以2π×12+2πh=8π，解得h=3．

因为AA1⊥底面ACB，所以AC是A1C在底面ACB上的射影，

所以∠A1CA是直线A1C与下底面所成的角，即∠A1CA=60°

在直角三角形A1CA中，A1A=3，∠A1CA=60°，所以AC=．

AB是底面直径，所以∠CAB=．

以A为坐标原点，以AB、AA1分别为y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：

则A（0，0，0）、C（，，0）、A1（0，0，3）、B（0，2，0），

于是=（，，0），=（0，2，3），=（-，，0）

设平面A1CB的一个法向量为=（x，y，z），则，

不妨令z=1，则=（，，1），

所以A到平面A1CB的距离d==

所以点A到平面A1CB的距离为．

（2）平面A1AB的一个法向量为=（1，0，0）

由（1）知平面A1CB的一个法向量=（，，1），

二面角A-A1B-C的大小为θ，则|cosθ|=．

由于二面角A-A1B-C为锐角，所以二面角A-A1B-C的大小为arccos．

证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．

∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点-------------------（1分）

又E为PD的中点，∴EO∥PB．----------------------（2分）

∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

∴PB∥平面AEC．----------------------------------（3分）

（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，

∵PA⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD，且

∴∠ECF=α-------------------------------------（4分）

由得---------------------（5分）

则，------------------------（6分）

解法一：

过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，

∵PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，----------（7分）

又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，

∴CD⊥面PAD--------------------------------（8分）

∵AQ⊂面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，

∴AQ⊥面CDQ，

故AQ⊥CQ---------------------------------------------------（9分）

∴∠DQC是二面角D-AE-C的平面角．-----------------------------------------（10分）

∵AP=1，，

∴

又∵E为PD的中点，

∴--------------------------------------（11分）

在Rt△AQD中，

∴，-----------------------------------------------（13分）

∵0＜∠CQD＜π，

∴，即二面角D-AE-C的大小为．---------------------------------（14分）

解法二：

以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，-（7分）

则A（0，0，0），，，，P（0，0，1），-----------（8分）

故，，，-----------（9分）

由条件可知，为平面ADE的一个法向量，------（10分）

设平面AEC的一个法向量为，

则由，得，

取x=2，得，

∴---------------------------------------------------------------（12分）

设二面角D-AE-C的大小为θ，则=，

∴，

即二面角D-AE-C的大小为．-------------------------------------（14分）

解：（1）∵DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，A′E∩A′F=A′，

∴DA′⊥面A′EF，

∴DA′⊥EQ，

又△A′EF为正三角形，Q′为A′F的中点，

∴EQ⊥A′F，A′F∩DA′，

∴EQ⊥面DA′F；

（2）解：∵E、F为AB、BC的中点，

∴A′E=A′F=1，ED=FD==，EF==，

取EF中点O，连接A′O，OD，则A′O⊥EF，DO⊥EF，

∴∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角，

OD===，A′O===，

在△A′OD中，cos∠A′OD===，

∴sin∠A′OD=，

故二面角A′-EF-D的正弦值为．