热门试卷

（I）证明：由ABC-A1B1C1为直三棱柱和CF=2a，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，得，，

，得

所以B1F⊥AF，…（2分）

由CC1⊥面ABC，AD⊂面ABC，得CC1⊥AD，

由AB=AC及D是BC的中点得：AD⊥BC，

而CC1⊥AD，BC∩CC1=C，

所以AD⊥面BCC1B1，

又BF1⊂面BCC1B1，

所以AD⊥B1F…（2分）

又B1F⊥AF，AF∩AD=A，

所以B1F⊥平面ADF；…（5分）

（Ⅱ）解：由（I）AD⊥面BCC1B1，而CD⊂面BCC1B1、DF⊂面BCC1B1，

所以AD⊥CD、AD⊥DF

所以∠CDF为二面角F-AD-C的平面角     …（8分）

由直三棱柱可知：∠DCF为直角，所以tan∠CDF=…（10分）

（Ⅲ）解：当AE=2a时，BE∥平面ADF，

证明如下：连结EF、EC交AF于点M，

由AE=2a=CF，及AE∥CF可得：四边形ACFE为平行四边形．

所以M为EC中点，

又D是BC的中点，

所以BE∥DM，…（13分）

又BE⊄平面ADF，DM⊂平面ADF

所以BE∥平面ADF，命题得证．                                …（14分）

解：A（2，0，0），E（1，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），F（2，1，2），C1（0，2，2）．

（1）=（-1，0，2），=（0，-1，2），

∴===．

∴异面直线AE和BF所成角的余弦值是．

（2）=（2，-1，0）．

设平面BFC1的法向量为=（x，y，z），

则，∴，

取=（1，2，1）．

由正方体的性质可得：AC⊥平面B1BDD1，

取=（-2，2，0）为平面B1BDD1的法向量．

则===．

∴平面B1BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值为；

（3）如图所示，取C1D1的中点为H，取D1H的中点L，连接EL，A1H．

则EL∥A1H∥FC1，可得EL∥平面BFC1，

分别取AA1的中点M，AB的中点G，AG的中点N，CK=．

连接EM，MN，NK，KL．

可得平面EMNKL∥平面BFC1．

则当点P取L时，EP取得最小值，EP===．

当点P取K时，EP取得最小值，EP===．