热门试卷

证明：（Ⅰ）连结AC，

∵在△ABC中，AB=AC=2，，

∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，

∵AB∥CD，∴AC⊥CD，

又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），

∵M是棱PD的中点，∴M（-1，1，1），

∴=（-1，1，1），=（2，0，0），．

设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，

∴，即

令y=1，则，

∴平面MAB的法向量=（0，1，-1）

∵PA⊥平面ABCD，

∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．

∴cos＜，＞===-

∵二面角M-AB-C 为锐二面角，

∴二面角M-AB-C的大小为；

（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，

∴设N（x，0，0），=（-x，2，0），．

设直线CN与平面MAB所成角为α，

因为平面MAB的法向量=（0，1，-1），

∴=，

解得x=1，即AN=1，NB=1，

∴=1

（1）证明：如图，

连接AE，交BF于O，∵ABEF是矩形，∴O为AE的中点，

连接OG，又G为EC的中点，∴OG∥AC，

∵OG⊂BGF，AC⊄BGF，

∴AC∥平面BFG；

（2）解：∵ABCD是边长为3的正方形，∴，

又G到平面BCD的距离为，

∴，则BE=3．

过G作GH⊥BE=H，过H作HK⊥BF于K，连接GK，则∠GKH为二面角E-BF-G的平面角．

在Rt△GHK中，GH=，KH=，

∴tan∠GKH=．

解：（I）该四棱锥中，存在侧棱垂直于底面：SA⊥平面ABCD

∵SA=AB=2，AB=2，

∴SA2+AB2=8=AB2，可得SA⊥AB

同理可得SA⊥AD，

∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线

∴SA⊥平面ABCD；

（II）用三个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2

的正方体ABCD-A1B1C1D1

它们分别为：四棱锥A1-ABCD（侧棱AA1⊥平面ABCD），

四棱锥A1-B1BCC1（A1B1⊥平面B1BCC1），

四棱锥A-DD1CC1（A1D1⊥平面DD1CC1）．它们的图形如右图所示；

（III）根据正方体的对称性，得正方体ABCD-A1B1C1D1中，

△ANM与△CNM都等腰三角形，

设O为MN的中点，连结AO、CO、AC，则

∵AO、CO分别是等腰△ANM与△CNM的底边MN上的中线

∴AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角

∵△AOC中，AO=CO=，AC=2

∴根据余弦定理，得

cos∠AOC===-

因此，二面角A-MN-C的余弦值等于-．

（I）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．

设AE=BF=x，则A′（a，0，a）、F（a-x，a，0）、C′（0，a，a）、E（a，x，0）

∴．…（4分）

∵，

∴A′F⊥C′E．

（II）解：记BF=x，BE=y，则x+y=a，

三棱锥B′-BEF的体积，

当且仅当时，等号成立．

因此，三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，．…（10分）

过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF．

∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角．

在直角三角形BEF中，直角边是斜边上的高，

∴，，

故二面角B′-EF-B的大小为．…（14分）