热门试卷

解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，

∴DA⊥平面PAC．

（2）在空间直角坐标系内，A（0，0，0），C（1，0，0），B（1，-1，0），D（0，1，0），F（1，，0），P（0，0，1），

则，=（1，，0），

设平面PAF一个法向量为=（x，y，z），

则，令y=2，则x=1，即=（1，2，0），

又平面PCD法向量为=（1，1，1），

∴cos＜，＞===，

∴所求二面角的余弦值为．

解：（Ⅰ）由题设条件得△SBD的面积是

设点C到平面SBD的距离为d由VC-SBD=VS-BCD得：

所以点C到平面SBD的距离为（6分）

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱（7分）

∵AD∥BC，BC=2AD

∴EA=AB=SA∴SE⊥SB

∵SA⊥面ABCD得：面SEB⊥面EBC，EB是交线．

又BC⊥EB∴BC⊥面SEB故SB是SC在面SEB上的射影∴CS⊥SE，

∴∠BSC是面SCD与面SBA所成二面角的平面角（10分）

∵SB=，

又BC⊥SB∴

故所求二面角的正切值为（12分）

解：（1）证明：取AC的中点O，连结BO，SO，设SA=SB=SC=1，

由条件易知，SO⊥AC，AC=，，AB=BC=SA=1．

由AB2+BC2=AC2知，AB⊥BC，

∴BO⊥AC，且BO=，∴SO2+BO2=SB2，

∴二面角B-AC-S的平面角∠BOS=90°，即平面SAC⊥平面ABC．

（2）取AS的中点M，连结MO，MB，由（1）知，△SAB与△SBC为全等的正三角形，

∴SA⊥MB，SA⊥MO，故∠BMO为二面角B-AS-C的平面角．

又由BO⊥AC及BO⊥SO，得BO⊥平面SAC，

在△BMO中，易得MO=，MB=，∴cos∠BMO==．

（1）证明：∵PD∥QA，PD⊂平面PDC，QA⊄平面PDC，

∴QA∥平面PDC，

同理AB∥平面PDC，

∵QA∩AB=A，

∴平面ABQ∥面PCD，

∵BQ⊂平面ABQ，

∴BQ∥面PCD；

（2）证明∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC⊥CD，

∵PD∩CD=D，

∴BC⊥平面PCD，

∵BC⊂平面BCP，

∴平面BCP⊥平面PCD，

过D作DM⊥PC，垂足为M，则DM⊥平面BCP，

△PCD中，CD=1，PD=2，PC=，由射影定理可得12=CM，∴CM=，

∴CM：MP=1：4；

（3）解：如图所示，将底面补成平行四边形ADPG，过Q作QE⊥BG，QF⊥PB，连接EF，则∠EFQ是二面角Q-BP-C的平面角，

由题意，BQ=PQ=，BP=，EQ=DM=，∴FQ=，

∴EF==，

∴cos∠EFQ==．