热门试卷

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．AC与BD相交于O．

∴△DBF是等边三角形，

∵FA=FC，O为AC中点，

∴FO⊥AC，

∵O为BD中点，

∴FO⊥BD，

∴FO⊥平面ABCD．

（2）∵OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

设AB=2，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴BD=2，

∴OB=OD=1，OA=OF=，

∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），

F（0，0，），E（0，-2，），

∴=（-，0，），=（-，1，0），=（0，2，0），

设=（x，y，z）为平面AFE的法向量，

则，即，令z=1，得=（1，，1），

同理可得平面AFE的一个法向量为，

则cos＜＞===，

∵二面角E-FA-B是钝二面角，

∴二面角E-FA-B的余弦值为-．

证明：（Ⅰ）因为D，E分别是VB，VC的中点，

所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE

与AB所成的角．            

又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．

故异面直线DE与AB所成的角为45°．

（Ⅱ）因为VA⊥平面ABC，

BC⊂平面ABC，

所以BC⊥VA．

由（Ⅰ）知，BC⊥AC，

所以BC⊥平面VAC．         

又由（Ⅰ）知，BC∥DE，

故DE⊥平面VAC．  

（ III）由（Ⅱ）知，BC⊥VA，BC⊥AC，

则∠ACV为所求二面角的平面角．

又，

则VA=AC，故∠ACV=45°

（1）证明：∵DE是△AOB的中位线

∴DE∥OB

DE⊂平面CDE

OB⊄平面CDE

∴OB∥平面CDE                                 

（2）作OM⊥直线DE于M点，

∵CO⊥平面OAB，由三垂线定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H

则OH⊥相交直线CM、ME，∴OH⊥平面CDE

   故OH为所求

易知，OM=，∴

∴

（3）过点E作EF垂直于OA，垂足为F，过点E作EG垂直于CD，连接FG，则∠EGF为所求二面角的补角

在三角形CDE中，利用等面积可得EG=

又EF=

∴

∴二面角O-CD-E的大小

（I）证明：如图所示，设BD∩AC=O，取DE的中点M，连接AM、OM．

则EM，又AF∥DE，∴四边形AFEM是平行四边形，∴AM∥FE．

又点O是正方形的对角线AC与BD的交点，∴DO=OB．

在△BDE中，OM∥BE，

又AM∩MO=M，∴平面ACM∥平面BFE，∴AC∥平面BEF．

（II）∵BA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴BA⊥平面ADEF，即BA是三棱锥B-DEF的高．

又=．

∴V三棱锥B-DEF==．

（III）连接FO，∵FA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴FA⊥平面ABCD．

又BD⊥AC，∴BD⊥FO．

∴∠AOF是二面角F-BD-A的平面角，在Rt△AOF中，=，

∴，即为二面角F-BD-A的平面角的余弦值．