热门试卷

（1）证明：如图所示，

∵点C在平面A1B1C1内的射影点为A1B1的中点O，A1C1=C1B1，

∴CO⊥A1B1，C1O⊥A1B1．

又CO∩C1O=O，

∴A1B1⊥平面OCC1；

∵A1B1∥AB，

∴AB⊥平面OCC1．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设AC=2．由AC：BC：AB：AA1=1：1：：2．

可得：A1（0，-，0），C（0，0，），C1（-，0，0），B1（0，，0）．

则=，=，=．

设平面A1C1CA的法向量为=（x，y，z），

则，即，取=．

同理可得：平面B1C1CB的法向量=．

∴===-．

由图中可以看出：二面角A-CC1-B的平面角为钝角．

∴二面角A-CC1-B的余弦值为．

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．

又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．

又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（）所以 =（，-1，-a），且=（，0，0）为平面PAD的法向量，

设直线PB与平面PAD所成的角为θ，

由sinθ=|cos＜，＞|==，解得a=2．

所以=（）．

设平面AEF的一法向量为=（x1，y1，z1），则，因此

取z1=-1，则=（0，2，-1）．

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量．

又=（-，3，0），所以cos＜，＞==．

因为二面角E-AF-C为锐角，故所求二面角的余弦值为

（1）证明：∵∠ACB=∠ACD=，BC=CD．∴BD⊥AC．

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥AP．

（2）解：连接BD与AC相交于点E，

∵BC=CD=，∠ACB=∠ACD=．

则BD⊥AC，

又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴⊂平面APC．

可得B（，0，0），C（0，1，0），A（0，-3，0），设P（0，y，），

=（-，1，0），=（0，y+3，）．

∵AP与BC所成的余弦值为，

∴===，-3≤y≤0，解得y=-1．

∴P（0，-1，），

∴=（-，-1，），=（，3，0），

设平面ABP的法向量为=（x，y，z），

则，∴，

取=．

同理可得：平面BPC的法向量=．

∴===．

∵二面角A-BP-C的平面角为钝角，

∴二面角A-BP-C的余弦值为．