热门试卷

解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，

则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角．

设AC=AB=AA1=2a，

则A1E1=a，A1C=2a，E1C1=a，

∴E1C=a，

△A1E1C中，cos∠E1A1C==，

∴异面直线AE与A1C所成的角为．

（2）由（1）知，A1E1⊥B1C1，

又∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱∴A1E1⊥BCC1B1，

又∵EG⊥A1C，∴CE1⊥EG．

∴∠E1CC1=∠GEC，

∴△E1CC1∽△GEC，

∴即得CG=a，

∴G是CC1的中点； 

（3）连结AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面ACC1A1，∴EP⊥平面ACC1A1

而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

由EP=a，AP=a，PQ=，得tan∠PQE==

∴二面角C-AG-E的平面角正切值是．

解：（Ⅰ）根据题意CA、CB、CC1两两互相垂直

如图：以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

设AC=BC=CC1=a，则A1（a，0，a），，B（0，a，0），B1（0，a，a），A（a，0，0），C1（0，0，a），

假设在B1C1上存在一点N，使MN⊥平面A1BC，设N（0，y，a）

所以=（a，-a，a），=（a，0，a），

由•=0，•=0，得：

∴N在线段B1C1的中点处（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN⊥平面A1BC，则平面A1BC的一个法向量为分

取AB中点D，连接CD，易证CD⊥平面A1AB

∴可得面A1AB的一个法向量（8分）

所以面A1AB和面A1BC所成的角为．（12分）