热门试卷

（Ⅰ）证明：连接BC1

∵BCC1B1为平行四边形，且BC=CC1=2，

∴BCC1B1为菱形，

∴BC1⊥B1C …（2分）

又∵A1B⊥B1C，

∴B1C⊥平面A1C1B

∴B1C⊥A1C1，…（4分）

又∵AC⊥CB，

∴A1C1⊥C1B1

∴A1C1⊥平面CBB1C1  

∴A1C1⊥CC1，…（6分）

（Ⅱ）∵A1B=2，A1C1=2，

∴BC1=2，

∴CC1⊥BC

∴AC，CB，CC1两两垂直…（8分）

以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，

如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），B（0，2，0），

设E（0，0，a），

则=（-2，0，a），=（-2，2，2），=（0，-2，2），

易知，BC1⊥平面AB1C，

则平面AB1C的一个法向量=（0，-1，1）

设=（x，y，1）是平面AB1E的一个法向量

则，

得=（，-1，1）…（10分）

则|cos＜，＞|===，

解得：a=1，

∴在棱CC1上存在点E，当CE=1时，得二面角E-AB1-C的大小为30°．…（12分）

（1）证明：在梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，AD=CD=AB=a，

得AC=BC=a，BC⊥AC，

又四边形ACFE是矩形，则EA⊥AC，

∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，

∴AE⊥平面ABCD，

∵平面BC⊂平面ABCD，

∴AE⊥BC，

∴BC⊥平面ACFE，

∴AM⊥BC；

（2）解：以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过点D平行与EA的直线为z轴，则

D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，2a，0），M（a，a，a），

设平面DAM的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-a，0，0），=（a，a，a），

∴，∴=（0，-3，1）；

同理可得平面ABM的法向量为=（3，0，1），

则二面角B-AM-D的余弦值为-=-．

解：如图1，以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）

（Ⅰ）设棱锥的高为h，则A1（2，0，h），C（0，2，0），．

∴cos＜，

即cos60°=，解得h=2．

∴E（0，0，1），A1（202），．

∵F为棱B1C1上的动点，故可设f（0，y，2）．

∴．

又

∴，即异面直线A1E与OF成角为90°

（Ⅱ）易知平面A1CC1的一个法向量为=（1，1，0），设平面A1B1C的一个法向量为=（x，y，1），则=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②

由①、②，得．

∴cos＜＞=，

∴＜＞=60°．

即二面角B1-A1C-C1的大小为60°．

（Ⅲ）将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2．在旋转过程中，线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变，

设BC1的中点为M，OO1的中点为O2，则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段．

设N是线段BC1上任意一点，N在轴OO1上的射影为P．

以正方体的中心O2，主点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上，并设正方体边长为2，MN=t，PN=d．

∵＜＞=45°，

∴N．

在Rt△OPN中，由O2P2+PN2=O2N2，得

d2+，∴．

即d与t之间满足双曲线关系，故选D．