热门试卷

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面垂直、二面角等数学知识，考查学生用向量法解决立体几何的能力，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，连结AC、BD交于O，则在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三边长，可知，利用线面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，得到和平面MNC的法向量的坐标，可求出//，所以平面MNC；第二问，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐标，利用夹角公式得到夹角的余弦值.

试题解析：设菱形对角线交于点，易知且

又.由勾股定理知，

又

 平面                      3分

建立如图空间直角坐标系，，

，，

，                    5分

⑴显然，，平面的法向量

，由∥，知平面            8分    

⑵设面的法向量为 由

取，得                             10分

所以平面与平面的夹角的余弦值为.    12分

(1)   (2)

(1)由题可得,PO⊥底面ABCD.

在Rt△AOP中,

∵AO=AC=,AP=2,

∴PO===.

故VP-ABCD=·S底·PO=×4×=.

(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O点为原点,OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则各点的坐标为A(,0,0),B(0,,0),P(0,0,),M(-,0,),

∴=(,,-),=(-,,0),

=(-,0,).

设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z),

则有即

取x=1,则y=1,z=1,

∴n=(1,1,1),

∴sinθ=cos(90°-θ)===.

（1）如图建立空间直角坐标系，

则，

，

∴对任意都成立，

即AC⊥BE恒成立；                            ……………………6分

解：（2）显然是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

∵，

∴，

取，则，， 　　………………10分

∵二面角C-AE-D的大小为，

∴，

∴为所求。

略

（1）点到平面的BDEF的距离；（2）直线A1D与平面BDEF所成的角为．

试题分析：（1）建立空间坐标系，分别写出各点的坐标，设点在平面BDEF上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDEF的斜线段；求出的长即为点到平面的BDEF的距离；

（2）由（1）可知，△为等腰直角三角形，即直线A1D与平面BDEF所成的角．

（1）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,

则知B（1，1，0），

设是平面的法向量，

得则

令．

设点在平面BDEF上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDEF的斜线段．

即点到平面BDEF的距离为1．

（2）由（1）知，=1，又A1D=，则△为等腰直角三角形，