热门试卷

(1) ；（2）．

试题分析：（1）求异面直线所成的角，一般根据定义，过异面直线中的一条上某一点作中一条直线的平行线，把异面直线所成的角化为相交直线所夹的锐角或直角，而这可能通过在三角形中求得,如果图形中有两两相互垂直且交于同一点的三条直线，那么我们可以建立空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为空间两向量的夹角，要注意异面直线所成的角的范围是，而向量的夹角范围是，解题时注意转化；（2）这个几何体我们要通过划分，把它变成几个可求体积的几何体，如三棱锥和四棱锥，这两个棱锥的体积都易求，故原几何体的体积也易求得．

试题解析：（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.

由题意得，，，平面，

∴平面，∴，同理可证面.

∵ ，，

∴为平行四边形，

∴.

则（或其补角）为异面直线和

所成的角.                          3分

由平面几何知识及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得

．

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为．                             7分

解法二：同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线

分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，                            2分

可得，

∴ ，

得.               4分

设向量夹角为，则

．

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为．                 7分

（２）如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且.   9分

∵      11分

.

∴ 几何体的体积为.  14分

法一:（I）如图，，因为，所以，又平面，

以为轴建立空间坐标系，则，，，

，，,，

，，由，

知，又，从而平面；

（II）由，得。

设平面的法向量为，，，所以

，设，则

再设平面的法向量为，，

所以，设，则

故, 可知二面角余弦值的大小.

法二: （I）如图，，因为，平面，所以又,所以，从而平面；

（II）由（I）知为菱形，

≌.

作于,连,则

故为二面角的平面角，

.

故二面角余弦值的大小.

略

（1）证明过程详见试题解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）如图，取的中点,连结、,

因为是正三角形，所以,又因为,所以;由,那么,所以;（2）由（1）结合条件可以得到就是二面角的平面角，在直角三角形中，有,又那么在直角三角形中，可根据勾股定理求出,那么;（3）以为坐标原点建立直角平面坐标系，要使得最小，就是要找出点关于平面的对称点,求出即可.因此建立如解析中空间直角坐标系求.

试题解析：（1）证明：∵ ，△是正三角形，

∴ ，

∴ ,

又∵ ,∴△是正三角形，

取中点，连结、，则

又∵，

∴,

又∵,

∴  

（2）证明：∵，由（1）知，

∴，

∴；

∵

   ∴

∵,∴ ，

在

∴

（3）解：延长至使，连结、、，

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则点的坐标为，的坐标是，

则就是的最小值，

（1）见解析（2）见解析

（1）∵

∴①……………………2分

∴

∴②……………………4分

联立①，②解得：……………………6分

（2）

……………………10分

∴……………………11分

当

此时