热门试卷

解：（Ⅰ）连接A1B交AB1于Q，

则Q为A1B中点，连结PQ，

∵P是BC的中点，

∴PQ∥A1C，

∵PQ平面AB1P，A1C 平面AB1P，

∴A1C∥平面AB1P。

（Ⅱ）取中点M，连、AM，

则，

∵平面平面ABC，

∴平面平面，

∴平面，

∴为直线与平面所成的角， 

在正中，边长为2，M是中点，

∴，

∵面平面ABC，

∴为与平面ABC所成的角，即，

在菱形中，边长为2，

，M是中点，

∴，

∴，

在中，，，

从而，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为。

（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，

所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，），C1（-2，0，），E（-1，，）

则有：=(-1，0，)，=(-1，1，0)，=（-1，，）

设平面A1AB的法向量为=（x0，y0，z0），则由，可得

故可取=(，，1)

∴•=0

∵OE⊄平面A1AB

∴OE∥平面A1AB；

（III）∵C（-1，0，0），∴=（-1，0，-）

∵平面AA1B的一个法向量为=(，，1)

∴|cos＜，＞|=||=

∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量与所成锐角互余，

∴sinθ=

证明：（1）取AB中点G，连CG，GF，则GF∥BE，且GF=BE．

∴GF∥CD且GF=CD

∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF∥CG，

∵CG⊂平面ABC又DF⊄平面ABC

∴DF∥平面ABC．

（2）设A到平面BDF距离为h，由VA-BDF=VD-ABF知h=

又△BDF中，BF=，BD=DF=，∴S△BDF=，S△ABF=S△ABE=1，CB=2，

∴h==

设AB与平面BDF所成角为θ，则sinθ==

（I）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN

则有EN∥CD∥AM，且EN=CD=AB=MA．

∴四边形AMNE是平行四边形．

∴MN∥AE．

∵AB⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD．…（6分）

（II）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E是PD中点，

∴∠EAD=45°又MN∥AE

∴MN与平面ABCD所成的角等于∠EAD，

∴MN与平面ABCD所成的角等于45°…（14分）

（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，

因为M为SA的中点，

所以ME∥AB，且ME=AB，

因为N为菱形ABCD边CD的中点，

所以CN∥AB且CN=AB，

所以ME∥CN，且ME=CN，

所以四边形MECN是平行四边形，

所以MN∥EC，

又因为EC⊂平面SBC，ME⊄平面SBC，

所以直线MN∥平面SBC．（5分）

（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，相交于点O，

因为SA⊥底面ABCD，

所以SA⊥BD．

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD．

又SA∩AC=A，

所以BD⊥平面SAC．

又BD⊂平面SBD，

所以平面SBD⊥平面SAC．（10分）

（Ⅲ）如图，连接AN，因为MA⊥平面ABCD，

所以AN是MN在平面ABCD上的射影，

所以∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角．

设SA=AD=DC=2，

由∠ABC=60°，

可知AN=，AM=1，

所以在Rt△AMN中∠ANM=30°，

即直线MN与平面ABCD所成的角为30°．（14分）

解：依题意建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,

(1)∵

∴

∴//

而平面,平面,

∴∥平面

(2)证明：∵在上,

∴

设,则有,,

∴=

∵

∴=

解得:,

∴

依题意为平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量,则有

即

令解得,

∴

显然,二面角为锐二面角

∴

所以,二面角的余弦值为

解：（1）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，FC∩CD=C，

∴面ABE∥面CDF

又AE面ABE，

∴AE∥面CDF

（2）∵ ，且面ABCD⊥面BEFC，

∴FC⊥面ABCD

以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，

设BE=m，由 得AB=λm，

∴ 

平面AFE法向量 ，

又∵CD⊥面CEF

∴ 是平面CEF的一个法向量，

∴ ，即 

（1）证明：“略”；

（2）证明：“略”；

（3）解：45°。