热门试卷

解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．

又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF

∴AE⊥平面BCE．

（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，

∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，

∴F是EC中点．

在△AEC中，FG∥AE，

∴AE∥平面BFD．

（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，

∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCF，

∵G是AC中点，

∴F是CE中点，且，

∵BF⊥平面ACE，

∴BF⊥CE．

∴Rt△BCE中，．

∴，

∴

证明：（1）连BD，

∵面ABCD为菱形，

∴BD⊥AC

因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，

所以BD⊥平面AA1C1C，

又因为AA1平面AA1C1C，

所以BD⊥AA1

（2）连AB1，B1C，由棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的性质知：

AB1∥DC1，AD∥B1C，AB1∩B1C=B1，A1D∩DC1=D，

所以由面面平行的判定定理知：平面AB1C∥平面DA1C1

（3）存在这样的点P，因为A1B1∥AB∥DC，

所以四边形A1B1CD为平行四边形．

所以A1D∥B1C，

在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，

因为B1B∥CC1，所以BB1∥CP，

所以四边形BB1CP为平行四边形，即BP∥B1C，

所以BP∥A1D，所以BP∥平面DA1C1，

所以在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1．

（1）证明∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴PA⊥AB．

∵AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD平面PAD，

∴AB⊥PD．

（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．

∴EF∥BC， ，

∵AD∥BC， ，

∴AD∥EF，AD=EF．

∴四边形EFDA是平行四边形，

∴AE∥DF．

∵AE平面PCD，DF平面PCD，

∴AE∥平面PCD．

∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．

∴平面AEF∥平面PCD．

∵AE平面AEF，

∴AE∥平面PCD．

∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．

解：（1）∵平面，

∴平面

则

又∵平面

则

∴平面BCE。

（2）依题意可知：G是中点

∵平面，

则，而

∴F是AC中点

在中，

∴平面。

（3）∵平面

∴

而平面BCE

∴平面

∴平面

∵G是AC中点

∴F是CE中点

∴且

∵平面

∴

∴中，

∴

∴。

（1）证明：取AC的中点H，因为AB=BC，所以BH⊥AC，

因为AF=3FC，所以F为CH的中点，

因为E为BC的中点，所以EF∥BH，则EF⊥AC，

因为△BCD是正三角形，所以DE⊥BC，

因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE，

因为AB∩BC=B，所以DE⊥平面ABC，

所以 DE⊥AC，

因为 DE∩EF=E，所以AC⊥平面DEF。

（2）；

（3）存在这样的点N，当CN=时，“MN∥平面DEF”，

连结CM，设CM∩DE=O，连OF，

由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM，

所以 当CF=CN时，MN∥OF，所以。

证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，

由题意知SO⊥平面ABCD．

以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．

设底面边长为a，则高．

于是，

，，

，

故OC⊥SD从而AC⊥SD

（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，

平面DAC的一个法向量．

设所求二面角为θ，则

，

所求二面角的大小为30°．

（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．

由（2）知是平面PAC的一个法向量，且

设，则

而

即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，

故BE∥平面PAC

证明：（1）∵△ADE是正三角形，

∴EG⊥AD，

又平面ADE⊥平面ABCD，

且相交于AD，

∴EG⊥平面ABCD． 

（2）取AE中点H，连接DH，

∵MH= AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，

∴四边形MHDN为平行四边形，

∴MN∥DH，

又MN平面EAD，DH平面ADE，

∴MN∥平面EAD．

（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，

即底面CGF的高为EG，且GE= ，

又在直角三角形EGC中，

由GE= ，得CG= ，

∴DC=2 ．

∴S△CGF=2 × ﹣ × ×2 ﹣ × ×  = ，

∴VF﹣EGC=VC﹣EGF = × ×  =