直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

四棱锥P-ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB．

正确答案

证明：在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．

又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD

所以直线EF∥平面PCD．

因为AB=AD，∠BAD=60°，E是AD的中点，

所以BE⊥AD，

因为CD⊥AD，

所以BE∥CD，

因为BE不在平面PCD中，CD⊂平面PCD

所以直线BE∥平面PCD．

因为EF∩BE=E，

所以平面PCD∥平面FEB．

解析

证明：在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．

又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD

所以直线EF∥平面PCD．

因为AB=AD，∠BAD=60°，E是AD的中点，

所以BE⊥AD，

因为CD⊥AD，

所以BE∥CD，

因为BE不在平面PCD中，CD⊂平面PCD

所以直线BE∥平面PCD．

因为EF∩BE=E，

所以平面PCD∥平面FEB．

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题型：填空题

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填空题

P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A1、B1、C1，若PA1：A1A=2：3，则=______．

正确答案

解析

解：由图知，∵平面α∥平面ABC，

∴AB∥平面α，

又由平面α∩平面PAB=A1B1，则A1B1∥AB，

∵PA1：A1A=2：3，即PA1：PA=2：5

∴A1B1：AB=2：5

同理得到B1C1：BC=2：5，A1C1：AC=2：5

由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，

所以

故答案为

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题型：单选题

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单选题

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）

A若m∥α，n∥α，则m∥n

B若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C若m∥α，m∥β，则α∥β

D若m⊥α，n⊥α，则m∥n

正确答案

D

解析

解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；

B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；

C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；

D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．

故选 D．

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题型：简答题

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简答题

若a⊆α，b⊆α，a∩b=M，c⊆β，d⊆β，c∩d=N，a∥c，b∥d，求证：α∥β．

正确答案

证明：如图

∵a⊆α，b⊆α，c⊆β，d⊆β，c∩d=N，a∥c，

∴a∥β，b∥β，（线面平行的判定定理）

∵a∩b=M，a⊆α，b⊆α，

∴α∥β（面面平行的判定定理）．

解析

证明：如图

∵a⊆α，b⊆α，c⊆β，d⊆β，c∩d=N，a∥c，

∴a∥β，b∥β，（线面平行的判定定理）

∵a∩b=M，a⊆α，b⊆α，

∴α∥β（面面平行的判定定理）．

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题型：简答题

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简答题

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；

（3）求三棱锥C-DEF的体积与三棱锥P-ABC的体积比．

正确答案

（1）证明：∵PC2=PA2+AC2，PB2=PA2+AB2

∴PA⊥AC，PA⊥AB

∵AC∩AB=A

∴PA⊥平面ABC

∵BC⊂平面ABC

∴PA⊥BC

（2）解：取PC的中点G，连接AG、BG

∵PF：FC=3：1

∴GF=FC

又∵D、E分别为BC、AC的中点

∵AG∥EF，BG∥DF

∵AG∩BG=G，EF∩DF=F

∴平面ABG∥平面DEF；

（3）解：设F到平面ABC的距离为d，则

∵PF：FC=3：1，PA⊥平面ABC

∴d=PA

∵D、E分别为BC、AC的中点

∴

∴三棱锥C-DEF的体积与三棱锥P-ABC的体积比为1：16．

解析

（1）证明：∵PC2=PA2+AC2，PB2=PA2+AB2

∴PA⊥AC，PA⊥AB

∵AC∩AB=A

∴PA⊥平面ABC

∵BC⊂平面ABC

∴PA⊥BC

（2）解：取PC的中点G，连接AG、BG

∵PF：FC=3：1

∴GF=FC

又∵D、E分别为BC、AC的中点

∵AG∥EF，BG∥DF

∵AG∩BG=G，EF∩DF=F

∴平面ABG∥平面DEF；

（3）解：设F到平面ABC的距离为d，则

∵PF：FC=3：1，PA⊥平面ABC

∴d=PA

∵D、E分别为BC、AC的中点

∴

∴三棱锥C-DEF的体积与三棱锥P-ABC的体积比为1：16．

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题型：简答题

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简答题

如图．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1．H是B1C1的中点．

（1）求证：E，B，F，D1四点共面：

（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．

正确答案

证明：（1）如图：

在DD1上取一点N使得DN=1，

连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND1=2、

因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，

所以D1F∥CN．

同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，

又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，

所以四边形CNEB是平行四边形，

所以CN∥BE，

所以D1F∥BE，

所以E，B，F，D1四点共面；

（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H=，

因为B1G=1，所以 =，

因为 =，且∠FCB=∠GB1H=90°，

所以△B1HG∽△CBF，

所以∠B1GH=∠CFB=∠FBG，

所以HG∥FB，

由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G=G，FB∩BE=B，

所以平面A1GH∥平面BED1F．

解析

证明：（1）如图：

在DD1上取一点N使得DN=1，

连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND1=2、

因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，

所以D1F∥CN．

同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，

又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，

所以四边形CNEB是平行四边形，

所以CN∥BE，

所以D1F∥BE，

所以E，B，F，D1四点共面；

（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H=，

因为B1G=1，所以 =，

因为 =，且∠FCB=∠GB1H=90°，

所以△B1HG∽△CBF，

所以∠B1GH=∠CFB=∠FBG，

所以HG∥FB，

由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G=G，FB∩BE=B，

所以平面A1GH∥平面BED1F．

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题型：单选题

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单选题

已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

Am∥α，n∥α，则m∥n

Bm∥n，m∥α，则n∥α

Cm⊥α，m⊥β，则α∥β

Dα⊥γ，β⊥γ，则α∥β

正确答案

C

解析

解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；

对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B不正确；

对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；

对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．

（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；

（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小．

正确答案

解：方法1：

（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，

所以EF∥BC，GF∥CP．（1分）

因为EF、GF⊄平面PCB，

所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．

又EF∩GF=F，

所以平面GFE∥平面PCB．（3分）

（Ⅱ）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H．

连接HB．

因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，

所以BC⊥平面PAC．

所以HB⊥PA．

所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分）

依条件容易求出CH=．

所以tan∠BHC==．

所以∠BHC=arctan．

所以二面角B-AP-C的大小是arctan．（8分）

（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，

连接KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形，

所以KC⊥PB．

又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，

所以AC⊥平面PCB．

所以AK⊥PB．

因为AK∩KC=K，

所以PB⊥平面AKC．

又PB⊂平面PAB，

所以平面AKC⊥平面PAB．

在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．

因为平面AKC⊥平面PAB，

所以FM⊥平面PAB．

连接PM，

所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．（11分）

容易求出PF=，FM=．

所以sin∠MPF==．

所以∠MPF=arcsin．

即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin．（13分）

（Ⅲ）解法2：连接FB，

因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，

所以PC⊥平面ABC．

即PC是三棱锥P-ABF的高．

依条件知VP-ABF=×PC×（×AF×BC）

=×1×（×1×1）=．

又VF-PAB=×h×S△PAB（其中h是点F到平面PAB的距离）

=×h×（××）=×h×=h，

所以由=h解得h=．（11分）

设PF与平面PAB所成的角为α，

又PF=，

所以sinα===．

所以α=arcsin．

即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin．（13分）

方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz．

所以A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1）

（Ⅰ）略（3分）

（Ⅱ）解：显然=（0，1，0）是平面PAC的一

个法向量．

设n=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，

因为=（-2，0，1），=（-2，1，0），

所以由n•=0，n•=0解得n=（1，2，2）．（6分）

设二面角B-AP-C的大小为θ，

所以cosθ==．

所以二面角B-AP-C的大小为arccos．（arccos=arctan）（8分）

（Ⅲ）解：设PF与平面PAB所成的角为α，

由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=（1，2，2）．

又=（-1，0，1），

所以cos（-α）==．（11分）

所以sinα=．

所以α=arcsin．

即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin．（13分）

解析

解：方法1：

（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，

所以EF∥BC，GF∥CP．（1分）

因为EF、GF⊄平面PCB，

所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．

又EF∩GF=F，

所以平面GFE∥平面PCB．（3分）

（Ⅱ）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H．

连接HB．

因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，

所以BC⊥平面PAC．

所以HB⊥PA．

所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分）

依条件容易求出CH=．

所以tan∠BHC==．

所以∠BHC=arctan．

所以二面角B-AP-C的大小是arctan．（8分）

（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，

连接KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形，

所以KC⊥PB．

又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，

所以AC⊥平面PCB．

所以AK⊥PB．

因为AK∩KC=K，

所以PB⊥平面AKC．

又PB⊂平面PAB，

所以平面AKC⊥平面PAB．

在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．

因为平面AKC⊥平面PAB，

所以FM⊥平面PAB．

连接PM，

所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．（11分）

容易求出PF=，FM=．

所以sin∠MPF==．

所以∠MPF=arcsin．

即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin．（13分）

（Ⅲ）解法2：连接FB，

因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，

所以PC⊥平面ABC．

即PC是三棱锥P-ABF的高．

依条件知VP-ABF=×PC×（×AF×BC）

=×1×（×1×1）=．

又VF-PAB=×h×S△PAB（其中h是点F到平面PAB的距离）

=×h×（××）=×h×=h，

所以由=h解得h=．（11分）

设PF与平面PAB所成的角为α，

又PF=，

所以sinα===．

所以α=arcsin．

即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin．（13分）

方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz．

所以A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1）

（Ⅰ）略（3分）

（Ⅱ）解：显然=（0，1，0）是平面PAC的一

个法向量．

设n=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，

因为=（-2，0，1），=（-2，1，0），

所以由n•=0，n•=0解得n=（1，2，2）．（6分）

设二面角B-AP-C的大小为θ，

所以cosθ==．

所以二面角B-AP-C的大小为arccos．（arccos=arctan）（8分）

（Ⅲ）解：设PF与平面PAB所成的角为α，

由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=（1，2，2）．

又=（-1，0，1），

所以cos（-α）==．（11分）

所以sinα=．

所以α=arcsin．

即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin．（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是CC1、BB1的中点，求证：平面DEB1∥平面ACF．

正确答案

证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、F分别是CC1、BB1的中点，

∴EB1∥CF，而EB1⊄平面ACF，CF⊂平面ACF，

∴EB1∥平面ACF；

又DEAF，同理可得，DE∥平面ACF；

DE∩B1E=E，EB1⊂平面B1ED，DE⊂平面B1ED，

∴平面DEB1∥平面ACF（面面平行的判定定理）．

解析

证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、F分别是CC1、BB1的中点，

∴EB1∥CF，而EB1⊄平面ACF，CF⊂平面ACF，

∴EB1∥平面ACF；

又DEAF，同理可得，DE∥平面ACF；

DE∩B1E=E，EB1⊂平面B1ED，DE⊂平面B1ED，

∴平面DEB1∥平面ACF（面面平行的判定定理）．

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题型：单选题

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单选题

α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是（　　）

Aα、β都平行于直线l、m

Bα内有三个不共线的点到β的距离相等

Cl、m是α内的两条直线且l∥β，m∥β

Dl、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

正确答案

D

解析

解：对于A，当α∩β=a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；

对于B，当α∩β=a，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β；

对于C，当l与m平行时，不能推出α∥β；

对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得α∥β，

故选D．

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