热门试卷

解：方法一：

（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC．①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．

设正方形ABCD的边长为a，

则，．

在Rt△PDB中，．

在Rt△EFD中，，∴．

所以，二面角C-PB-D的大小为．

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．

依题意得．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．

∴，这表明PA∥EG．

而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）证明；依题意得B（a，a，0），．

又，故．

∴PB⊥DE．

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0-a）=λ（a，a，-a）．

从而x0=λa，y0=λa，z0=（1-λ）a．所以．

由条件EF⊥PB知，，即，解得

∴点F的坐标为，且，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．

∵，且，，

∴．

∴．

所以，二面角C-PB-D的大小为．

解：（1）过A1作A1O⊥平面AC，O为垂足，

∵∠BAA1=∠DA A1，AB=AD，ABCD为菱形

∴O在∠BAD的角平分线，即AC上，

∵cos∠BAA1=cos∠BAC•cos∠OAA1，

∴cos∠OAA1=，

连A1C1则AA1C1C为平行四边形，∴cos∠AA1C1=-，

在三角形A1B1C1中，A1C12=A1B12+C1B12-2A1B1•C1B1cos∠A1B1C1=3，

∴AC1==；

（2）连结11、，和交于点，连结1，∵四边形是菱形，∴⊥，=

又∵∠1=∠1，1是公共边，∴△1≌△1，∴1=1

∵=，∴1⊥，但⊥，∩1=

∴⊥平面1，又1平面1，∴1⊥

∴⊥平面1，∵1平面1，∴⊥1，当为1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同理可证1⊥1，又∵∩1=，∴1⊥平面1

解：（1）证明：∵OM是△APC的中位线，∴OM∥PC，∵OM⊥面ABCD，∵PC⊥面ABCD，PC⊥BD．

又底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD．而OM 和 AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC．

（2）△ABC中，有余弦定理求得AC=，∵侧棱PA与底面所成角为45°，∴PC=，

三棱锥E-PAD的体积 VE-PAD=VB-PAD= VP-BAD=×S△ABD•PC

=（sin60°） =． 

（3）∵PC⊥面ABCD，作CF⊥AD，交 AD延长线于F，则PF⊥AD．过点P作AD的平行线l，

则l是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的棱，且l⊥PC，l⊥PF，

故∠CPF为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．

CF=DCsin60°=，Rt△PCF中，tan∠CPF===，

∴cos∠CPF=．

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD为矩形，∴DA⊥AB，且DA∥BC，…（1分）

∵∠PBC=90°，得BC⊥PB，∴DA⊥PB…（3分）

又∵AB∩PB=B，AB、PB⊂平面PAB

∴DA⊥平面PAB，…（5分）

（Ⅱ）∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，

∴根据正弦定理，得△PAB的面积为S△PAB=×1×2×sin120°=，…（7分）

由（1）DA⊥平面PAB，且AD∥BC．可得BC⊥平面PAB，

∴BC是三棱锥C-PAB的高线，…（9分）

因此，可得VC-PAB=S△PAB•BC=××1=，…（10分）

∵VD-PAC=VP-DAC=VP-ABC=VC-PAB…（12分）

∴三棱锥D-PAC的体积VD-PAC=VC-PAB=…（13分）

解：（I）证明：连接BD，MO

在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，

所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO

因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM

所以PB∥平面ACM

（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC

（III）解：取DO中点N，连接MN，AN

因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，，所以，

∴，

在Rt△ANM中，==

即直线AM与平面ABCD所成的正切值为

证明：（I）由题设知下列各点的坐标

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），

D（0，2，0），E（0，2，1），B1（2，0，2）．

∵O是正方形ABCD的中心，∴O（1，1，0）．

∴=（-1，1，-2），=（2，2，0），=（0，2，1）．

（2分）

∴•=（-1，1，-2）•（2，2，0）

=-1•2+1•2-2•0=0．

•=（-1，1，-2）•（0，2，1）

=-1•0+1•2-2•1=0．

∴⊥，⊥，

即B1O⊥AC，B1O⊥AE，

∴B1O⊥平面ACE．（4分）

（2）由F点在AE上，可设点F的坐标为F（0，2λ，λ），（5分）

则=（-2，2λ，l-2）．（6分）

∵⊥，

∴•=（-2，2λ，λ-2）•（0，2，1）=5λ-2=0，（7分）

∴λ=，

∴F（0，，）．（8分）

（III）∵B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，连接OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE．

∴∠OFB1即为二面角B1-EA-C的平面角．（9分）

∴||==（10分）

又=（-2，，-），

∴||==．（11分）

在Rt△B1OF中，sin∠B1FO==．

故二面角B1-EA-C的正弦值为．（12分）

证明：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2．

则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），O（1，1，0），B1（2，2，2）．

∴，，．

∵，=0，

∴，，

∴OB1⊥AC，OB1⊥AP，

又AP∩AC=A，∴OB1⊥平面PAC．

解：（Ⅰ）证明：由 PA⊥底面ABC，PA⊂平面PAC，

可得平面PAC⊥⊥平面ABC．

由于E是CA的中点，△ABC为等边三角形，∴BE⊥AC．

再由BE⊂平面ABC，平面 ABC∩平面PAC=AC，∴BE⊥平面PAC．

（Ⅱ）若PA=AB=2，则三棱锥P-ABC的体积 V=•S△ABC•PA=（AB•AC•sinA）PA=（）×2=．

（Ⅲ）在BC上是存在一点F，且F为CD的中点，使AD∥平面PEF．

证明：∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD．

由于 EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF．