热门试卷

解：（1）连结PQ、AQ．

∵△PCD为正三角形，∴PQ⊥CD．

∵底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，

∴AQ⊥CD．

∵AQ、PQ是平面PAQ内的相交直线，

∴CD⊥平面PAQ．…（4分）

∵PA⊂平面PAQ，∴PA⊥CD．

（2）由（1）可知PQ⊥CD，AQ⊥CD．

又由侧面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ．

因此，分别以QA、QC、QP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系Q-xyz．…（6分）

易知P（0，0，）、A（，0，0）、B（，2，0）、C（0，1，0）、D（0，-1，0）．…（7分）

由M（，1，），得=（，0，），

得⋅=+0-=0，可得PA⊥CM．…（10分）

∵CM、CD是平面CDM内的相交直线，

∴PA⊥平面CDM，

从而就是平面CDM的法向量．…（12分）

设AQ与平面所成的角为α，

则sinα=|cos＜，＞|=，可得α=45°

∴AQ与平面CDM所成的角为45°．…（14分）

（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，

∵VA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴VA⊥BD，

∵VA∩AC=A，

∴BD⊥平面VAC，

∴BD⊥VC；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），E（1，2，0），V（0，0，4），C（2，2，0），

∴=（1，2，0），=（2，2，-4），

设异面直线AE与VC所成角为α，则cosα=||=，

∴sinα=．

证明：（1）取PA的中点为G，连接BG、EG，则EG∥AD，EG=AD，------------（1分）

又BC∥AD，BC=AD，所以EG∥BC，EG=BC，四边形BGEC为平行四边形．-------------（2分）

所以EC∥BG．----------------------------------------（3分）

又EC⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，

故EC∥平面PAB．----------------------------------------（5分）

（2）因为AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易证得CD⊥AC．-----------------------（8分）

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，

因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．----（10分）

而AF⊂平面PAC，所以CD⊥AF．又已知AF⊥PC

又因为CD∩PC=C，所以AF⊥平面PCD．（12分）

证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．

∵底面ABCD是正方形，

∴O为AC的中点，又E为PC的中点

∴OE∥PA，

∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

∴PA∥平面BDE．…（6分）

（2）∵底面是正方形，

∴BD⊥AC，

又PC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴BD⊥PC，

又AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

而E是直线PC上的动点，

∴AE⊂平面PAC，

∴BD⊥AE．

解法一：（Ⅰ）证明：∵PB=PC=BC，O为BC中点

∴PO⊥BC

又∵PO⊥AD

而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交（没有说明扣1分）

∴PO⊥底面ABCD

（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，由三垂线定理知PE⊥AD

∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角

∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，O为BC中点

∴，，

由等面积法知

∴

∴∠PEO=，即二面角P-AD-B的大小为（或或）

（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，

∵PC=BC，

∴CN⊥PB①

∵AB⊥BC，且PO⊥AB

∴AB⊥平面PBC

∵CN⊂平面PBC

∴CN⊥AB②

由①、②知CN⊥平面PAB

由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形

∴CN∥DM

∴DM⊥平面PAB

∵BMÌ平面PAD

∴DM⊥BM

∵PB=AB=2

∴BM⊥PA

∴BM⊥平面PAD，直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM

在等腰直角三角形PAB中，易知∠BPM=45°

解法二：（Ⅰ）同解法一；

如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，

过点O与AB平行的直线为y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

（Ⅱ）∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD

∴平面ABCD的法向量为

∵A（1，2，0），D（-1，1，0），

∴，

设平面PAD的法向量为，

由得到，

令x1=1，则y1=-2，，即

∴cos＜，＞=

∴二面角P-AD-B的大小为（或或）

（Ⅲ）∵B（1，0，0）

∴

由（Ⅱ）知平面PAD的法向量为

则，即

所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°-45°=45°

解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴A1D⊥BC；

又∵BC⊥AC，且A1D∩AC=D，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1；①

又∵四边形A1ACC1为菱形，

∴A1C⊥AC1；②

由①②得，AC1⊥平面A1BC，

且A1B⊂平面A1BC，

∴AC1⊥A1B；

（Ⅱ）∵D是线段AC的中点，∴，

∴，即；

∴=-V三棱锥M-ABC

=3V三棱锥M-ABC-V三棱锥M-ABC=2V三棱锥M-ABC

=2××S△ABC•MD

又，

；

∴=2××2×=．

证明：（ I）直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；…（6分）

（ II）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；…（6分）